OliForum Matematico

Ho inventato questo problema che vi propongo in una versione un pò giocosa... ma la soluzione non è così facile!
<BR>
<BR> Storie di universi paralleli
<BR>
<BR> C\'era una volta un pianeta, piatto, rotondo, e fertile come nessun altro. Su di esso abitava un popolo di antichi elfi, che viveva sereno e prosperoso sotto la protezione del loro dio, Corallon.
<BR> Accadde un giorno che un elfo malvagio abbatté l\'albero sacro di Corallon: il dio si adirò, e scatenò la siccità sul pianeta degli elfi fino a che il colpevole fosse rimasto in vita. Il dio scelse questa sacra prova: egli avrebbe scelto casualmente due luoghi del pianeta, e se questi fossero stati più vicini della settima parte della massima distanza possibile, sarebbe scoccato un fulmine
<BR>che avrebbe incenerito l\'elfo malvagio. Inoltre, scelse di tentare la prova il primo giorno, poi riposare il giorno successivo, quindi ritentare la prova, e riposare due giorni, tentare ancora, e riposare altri tre giorni... e così via per l\'eternità, fino a che il dannato non fosse rimasto ucciso.
<BR>Il Signore degli elfi subito convocò gli astronomi degli altipiani, per sapere quanto sarebbe durata la siccità.
<BR>
<BR>PS: L\'ennesimo problema di probabilità; che noia eh? Per me è carino, l\'ho risolto solo in parte però. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Per lo meno ho calcolato la sommatoria infinita...

Assumo nel seguito che \"piatto e rotondo\" significhi che si tratta di un cerchio ad una sola faccia.
<BR>Il problema dovrebbe risultare più semplice se lo si sostituisce con la superficie di una sfera.
<BR>
<BR>
<BR>Usando il risultato pubblicato a <!-- BBCode Start --><A HREF="http://mathworld.wolfram.com/DiskLinePicking.html" TARGET="_blank">mathworld.wolfram.com/DiskLinePicking.html</A><!-- BBCode End -->, abbiamo che la funzione di probabilità relativa a due punti presi in un cerchio di raggio R è:
<BR>P(s) = 4*s/(Pi * R^2) * ArcCos[s/(2*R)] - 2 * s^2 / (Pi * R^3) * Sqrt[1 - s^2/(4 * R^2)]
<BR>
<BR>La probabilità che essi abbiano distanza <= s è l\'integrale, ovvero:
<BR>D(s) = (8*R^3*ArcCsc[(2*R)/s] + s*(-((2*R^2 + s^2)*Sqrt[4 - s^2/R^2]) + 8*R*s*ArcSec[(2*R)/s]))/(4*Pi*R^3)
<BR>
<BR>Poichè la distanza massima è 2R, il valore richiesto dal problema è D(2R/7), ovvero:
<BR>p = D(2R/7) = (2*(-204*Sqrt[3] + 98*Pi + 2205*ArcCsc[7]))/(2401*Pi)
<BR>(circa 0.071754)
<BR>
<BR>Il numero di giorni medio è
<BR>p*1 + (1 - p)(p*3 + (1 - p)(p*7 + ...))
<BR>
<BR>Ossia:
<BR>sum(k = 0 -> inf) {p*(k^2 + 3*k + 2)/2 * (1 - p)^k}
<BR>
<BR>Il risultato è quindi (5764801*Pi^2)/(-408*Sqrt[3] + 196*Pi + 4410*ArcCsc[7])^2, che vale circa 194.226 giorni.
<BR>
<BR>Ho ovviamente fatto largo uso di software apposito.
<BR>

C\'E\' un ERRORE !!!!
<BR>
<BR> Fino alla penultima riga è tutto giusto. Ma la sommatoria ha un altro risultato!
<BR>Essendo i coefficienti numeri triangolari, si può seguire una strategia veloce.
<BR>Diciamo s(x) = Sum(n, 0->inf) x^n = 1/(1-x) e s = s(1-p) = 1/p.
<BR>Scriviamo la sommatoria:
<BR>p( 1 + 3(1-p) + 6(1-p)^2 + 10(1-p)^3 ..... )
<BR>Sottraiamo meccanicamente gli s:
<BR>p( 1s + 2(1-p) + 5(1-p)^2 + 9(1-p)^3 ..... )
<BR>p( 1s + 2s(1-p) + 3(1-p)^2 + 7(1-p)^3 ..... )
<BR>Ovviamente viene:
<BR>p( 1s + 2s(1-p) + 3s(1-p)^2 + 4s(1-p)^3 ..... )
<BR>ps( 1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 ..... )
<BR>Ma s = 1/p e ps = 1:
<BR>1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + 4(1-p)^3 .....
<BR>Sottraiamo meccanicamente gli s:
<BR>1s + 1(1-p) + 2(1-p)^2 + 3(1-p)^3 .....
<BR>s + s(1-p) + s(1-p)^2 + s(1-p)^3 .....
<BR>s( 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 ..... ) = s*s = 1/(p^2)
<BR>
<BR>Per cui sono circa 194 giorni. Molto meno!

L\'errore è solo nell\'esempio.
<BR>
<BR>La sommatoria mi pare esatta, poichè mi sembra seguire dal problema, fornisce lo stesso tuo risultato, ha i coefficienti che hai scritto tu, corrisponde al risultato di una apposita simulazione e la formula finale è pari a 1/p^2.
<BR>
<BR>L\'esempio che ho fatto è invece (involontariamente) errato poichè il 7 è in realtà 6.
<BR>
<BR>

Ma allora il risultato non è così grande! 1/(0.071754^2) fa circa 194!
<BR>
<BR> Cmq a te sono arrivati i risultati del test finale di Pisa?
<BR>
<BR>Tra l\'altro: se leggi Dimostratelo! c\'è la generalizzazione della sommatoria infinita.
<BR>
<BR>

Infatti l\'approssimazione ottenuta da me è 194.226.
<BR>

Scusami! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR> Avevo preso il punto alla inglese.
<BR>
<BR>Ciao!