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Ho visto molte volte sul forum la scrittura $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ oppure $ \mathbb{Z}[x] $, o anche $ \mathbb{Q}\left[\displaystyle\frac{\sqrt3-1}{2}\right] $, ma senza capire mai cosa significhino. Potete spiegare di che si tratta?

$\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ è l'insieme dei possibili resti nella divisione per $p$, su cui sono definite una somma e un prodotto. Per essere più precisi, si tratta dell'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ quozientato per la relazione di equivalenza che identifica due numeri se la loro differenza è multipla di $p$, quindi se danno lo stesso resto divisi per $p$. Il senso delle operazioni è che il resto della divisione per $p$ di una somma di due interi dipende solo dal resto che danno divisi per $p$ gli addendi, e analogamente per il prodotto, quindi hai due operazioni ben definite in questo "insieme dei resti" (ma ci vorrebbe una trattazione più dettagliata).

$\mathbb{Z}[x]$ è l'insieme dei polinomi a coefficienti interi.

$\mathbb{Q}[qualcosa]$ è l'insieme che si ottiene aggiungendo a $\mathbb{Q}$ $qualcosa$ e tutti i numeri che si possono ottenere a partire dai razionali e da $qualcosa$ con le quattro operazioni. In questo insieme puoi fare le quattro operazioni tra una coppia di elementi (tranne la divisione per zero, ovviamente), ma anche qui ci vorrebbe una trattazione più approfondita.

Hawk ha scritto:Ho visto molte volte sul forum la scrittura $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ oppure $ \mathbb{Z}[x] $, o anche $ \mathbb{Q}\left[\displaystyle\frac{\sqrt3-1}{2}\right] $, ma senza capire mai cosa significhino. Potete spiegare di che si tratta?

$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ o anche $\mathbb{Z}_p$ è l'anello degli interi modulo p, per esempio $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}=\{0,1,2,3\}$
Il secondo mi pare che sia l'insime dei polinomi in una variabile a coefficienti relativi
Il terzo non lo conosco bene, ma per esempio $\mathbb{Z}\left[i\right]$ sono gli interi di Gauss, ovvero i numeri complessi della forma $a+bi$ con $a,b\in\mathbb{Z}$

Probabilmente mi sono perso qualcosa, quindi prego i più esperti di aggiungere dove mìnecessario, perchè piacerebbe anche a me saperne di più...

EDIT: ok, capito... Grazie!

In verità errai, per ottenere $\mathbb{Q}[qualcosa]$ puoi fare solo somme, sottrazioni e prodotti, sempre a partire dai razionali e da $qualcosa$. Se però $qualcosa$ è una radice di un polinomio a coefficienti razionali, allora nell'insieme che ottieni si riesce a fare anche la divisione per elementi diversi da zero, ottenendo elementi dell'insieme.

Drago96 ha scritto:$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ o anche $\mathbb{Z}_p$ [...]

no, no, no, e poi no!
smettiamola di chiamare le cose con i nomi sbagliati!
$\mathbb{Z}_p$ NON È la stessa cosa di $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$! sono due simboli standard per due cose ben distinte. il fatto che voi olimpionici non sappiate cosa indica il primo simbolo non dev'essere preso come un permesso di usarlo a sproposito!

(@Drago96: non ce l'ho personalmente con te, e non lo prendere come un rimprovero personale. giusto per chiarirci...)

Adesso è già molto più chiaro. Grazie

ma_go ha scritto:

Drago96 ha scritto:$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ o anche $\mathbb{Z}_p$ [...]

no, no, no, e poi no!
smettiamola di chiamare le cose con i nomi sbagliati!
$\mathbb{Z}_p$ NON È la stessa cosa di $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$! sono due simboli standard per due cose ben distinte. il fatto che voi olimpionici non sappiate cosa indica il primo simbolo non dev'essere preso come un permesso di usarlo a sproposito!

(@Drago96: non ce l'ho personalmente con te, e non lo prendere come un rimprovero personale. giusto per chiarirci...)

Nessun problema, anzi... l'avevo scritto esplicitamente di correggermi
Il fatto è che ho sempre visto usare queste due scritture indifferentemente e nessuno ha mai corretto, quindi ho pensato che fosse giusto...

Ora però non posso che chiedere: che differenza c'è tra le due scritture (e i due oggetti)?