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Fissato un intero $n>1$, Alberto e Barbara giocano il seguente gioco:
1)Alberto sceglie un intero positivo;
2)Barbara sceglie un intero maggiore di 1 che sia multiplo o sottomultiplo del numero del numero di Alberto (compreso il numero stesso);
3)Alberto restituisce a Barbara il numero da lei detto, eventualmente aggiungendo o togliendo 1;
il gioco prosegue ripetendo alternativamente i passi 2 e 3. Barbara vince se riesce a scegliere $n$ entro 50 mosse.
Per quali valori di $n$ Barbara vince sicuramente contro ogni strategia di Alberto?

Barbara vince ogni volta che sceglie n multipli di 6. Se infatti esamino le congruenze modulo 6 dei numeri scelti da Alberto, trovo che in tutti i casi potrò scegliere come sottomultiplo dei numeri che Alberto mi ridà o il 2 o il 3, e da lì posso ricavarmi n. Il primo passo che posso eseguire è moltiplicare il numero che Alberto sceglie per 3 se è dispari, o scegliere direttamente il 2 se è pari.
Spero che sia giusto e non troppo sintetico...

Questa affermazione è giusta, ora però rimane da dimostrare che i multipli di 6 sono gli unici ad andare bene.
Comunque anche io ho pensato questa cosa,infatti se Alberto sceglie un multiplo di 6, Barbara sceglie 2, da qui Alberto può restituire solo 1,2, o 3 e ,dopo ognuno di questi numeri, Barbara può immediatamente tornare la numero di partenza