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Dato un intero $ n>1 $, siano fissati degli interi $ a_1,a_2,\ldots,a_n $ tali che $ n \nmid a_i $ per ogni $ 1\le i\le n $ e $ \displaystyle n \nmid \sum_{1\le i\le n}{a_i} $.

Dimostrare che esistono almeno $ n-1 $ sottoinsiemi distinti e non vuoti $ I_j \subseteq \{1,2,\ldots, n\} $ tali che $ \displaystyle n\mid \sum_{i\in I_j}{a_i} $ per ogni $ j $.

Problema figo Ci ho messo un bel pezzo ma alla fine l'ho avuta vinta io

Lemma che vorrei Sia $A$ un insieme con $|A|=n\ge 2$. Siano $A_1,A_2,\dots, A_k$ con $k<n-1$ sottinsiemi di $A$ tali che $\forall i:\ 1<|A_i|<n$. Esiste un ordinamento degli elementi di $A$ tale che se ne prendo alcuni consecutivi non sono mai uno degli $A_i$.
Dim. (è scritta un po' male... è il tipo di dimostrazione che scritta a mano esce molto meglio) Armato con il lemma che vorrei dimostro il problema.
Dimostro che dati $k<n-1$ sottinsiemi $I_1,\dots I_k$ come richiesti dalla tesi riesco anche a trovare $I_{k+1}$. E da questo la tesi segue.
Per il lemma che vorrei, sapendo dalle ipotesi del problema che $1< |I_j|<n$, riesco a trovare un ordinamento degli ${1,2\dots,n}$ tale che nessun $I_j$ vi compare in modo consecutivo. Sia $f(1),f(2),\dots f(n)$ questo ordinamento.
Definisco $\displaystyle S_j=\sum_{i=1}^ja_{f(i)}$.
Per il principio dei piccioni esistono $0\leq i<j\leq n$ tali che $S_i\equiv S_j\pmod{n}$. Ma allora pongo $I_k=\{f(i+1),f(i+2),\dots f(j)\}$. E questo è, per l'ordinamento scelto, distinto dagli altri $I_j$ ed inoltre rispetta le richieste del problema.

p.s. Davvero un bel problema... Da dove esce?
p.p.s. Voglio aggiungere che in effetti se si toglie un'ipotesi a caso il problema risulta falso... ed è figo