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Determinare tutti i primi $ p $ tali che $ x^3+y^3-3xy=p^2 $ abbia soluzioni intere.

Boh, la mia soluzione mi sembra strana, vedi un po' se ti torna...
Per prima cosa pongo $p=2$ e trovo la soluzione $(x,y,p)=(2,2,2)$. D'ora in poi assumo $p$ primo dispari.
Riscrivo l'equazione come $x^3+0x^2-3yx+y^3-p^2=0$. Questa equazione ha tre soluzioni intere, $a,b,c$, tali che $a+b+c=0$, $ab+bc+ca=-3y$ e $abc= p^2-y^3$. Detto questo, possiamo scrivere che $3abc=(ab+bc+ca)(a+b+c)-a^2(b+c)-b^2(a+c)-c^2(a+b) =(ab+bc+ac)\cdot 0 +a^3+b^3+c^3= 3(p^2-y^3)$. D'altro canto $ab+bc+ca= a(b+c)+bc = bc-a^3 = -3y$. Quindi $-9y = ab+bc+ca-a^3-b^3-c^3 = -3y-3(p^2-y^3)$, ovvero $p^2=y(y^2+2)$. Per ovvie ragioni, ora si ha che $2\nmid y$ e da questo consegue che $(y,y^2+2) = 1$. Perciò, si deve avere che:
o $y=1$ e $y^2+2=p^2$ che è chiaramente assurdo
o $y=p=y^2+2$ che non da soluzioni intere per $y$

L'unica soluzione è quindi $(x,y,z)=(2,2,2)$

Boh, secondo me sto sbagliando qualcosa

P.S.: Da dove hai preso questo problema ?

Mist ha scritto: Riscrivo l'equazione come $x^3+0x^2-3yx+y^3-p^2=0$. Questa equazione ha tre soluzioni intere, $a,b,c$

Perchè?

Soluzione abbastanza "scolastica", penso sia poco istruttiva e un tantino difficile senza conoscere certe formule, ma ci sono riuscito solo così.
(Premessa ovvia: x e y non sono nulli)
Analizzo l'equazione di terzo grado in x: $ x^3 -3y \cdot x + y^3-p^2 = 0 $. Affermo che il delta è maggiore di 0 se y è minore di 0.
$ \Delta = \frac{(y^3-p^2)^2}{4}+\frac{(-3y)^3}{27} = \frac{p^4-2y^3 \cdot p^2 + y^6-4y^3}{4} $
E' banalmente vero. In questo caso si ha che l'unica soluzione reale per la formula di Cardano:
$ x=\sqrt[3]{\frac{3y+\sqrt{p^4-2p^2y^3+y^6-4y^3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3y-\sqrt{p^4-2p^2y^3+y^6-4y^3}}{2}} $
Analizzando il $ \Delta $ modulo 2, se si pone p dispari si ha che:
se y è dispari, allora il numero ottenuto estraendo la radice quadrata (sempre che sia intero) è pari, e sommato a 3y mi dà un numero dispari, quindi non divisibile per 2, che è assurdo
se y è pari allora il numero ottenuto estraendo la radice quadrata (sempre che sia intero) è dispari, e sommato a 3y mi dà un numero dispari, quindi non divisibile per 2, che è assurdo.
Pertanto p è necessariamente pari, e sostituendo p=2 ho che
$ x=\sqrt[3]{\frac{3y+\sqrt{16+y^6-12y^3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3y-\sqrt{16+y^6-12y^3}}{2}} $
Ora $ \Delta = (y^3-6)^2 - 20 \ ; \ (y^3-6)^2-(\sqrt{\Delta})^2=20 $ quindi l'unica soluzione è $ (y^3-6)^2=36 $ ma in questo caso y è maggiore o uguale a 0 (ed è irrazionale dal momento che non può essere 0), assurdo. (ho usato che la radice del discriminante deve essere intera)
Ragionando analogamente per la x ho che x, y sono (interi) positivi. Inoltre ho che se il delta è positivo, non ci sono soluzioni. Se il delta (quello all'inizio) è negativo, si ha che le soluzioni x sono della forma $ 2\sqrt{y} \cdot cos(\theta) $ dove theta è un certo angolo che dipende da p e y. quindi $ x \leq 2\sqrt{y} $ e similmente $ y \leq 2\sqrt{x} $ da cui $ xy \leq 4\sqrt{xy} $ e quindi $ xy \leq 16 $.
Sia ora WLOG $ x \leq y $. Se x=1 per quanto dedotto ho che y=2 oppure 1 ma non ottengo soluzioni. Se x=2 ho che y=2 da cui ottengo la soluzione (x,y,p)=(2,2,2). Se x=3 posso avere solo y=3 ma non è una soluzione, se x=4 posso avere solo y=4 ma non è una soluzione (le ultime restrizioni derivano da $ y \leq 2\sqrt{x} $).

Metto i miei risultati parziali, nel caso potrebbero essere d'aiuto:

i) Se per un $p>3$ esiste una soluzione intera $(x,y)$, allora $3\mid x+y-1$ e $p \nmid xy$.

ii) L'equazione può essere riscritta come $(x+y+1)((x+y+1)(x+y-2)-3(xy-1))=p^2+1$.


@Eleven: sicuro che il testo non sia $x^3+y^3-3xy=p^2-1$ ?

Essendo l'esercizio abbastanza complesso (a mio parere, poi magari c'è una strada very easy) non è che hai dimenticato un esponente $ 2 $ qui: $ -3xy $ ?

jordan ha scritto:Metto i miei risultati parziali, nel caso potrebbero essere d'aiuto:

i) Se per un $p>3$ esiste una soluzione intera $(x,y)$, allora $3\mid x+y-1$ e $p \nmid xy$.

ii) L'equazione può essere riscritta come $(x+y+1)((x+y+1)(x+y-2)-3(xy-1))=p^2+1$.


@Eleven: sicuro che il testo non sia $x^3+y^3-3xy=p^2-1$ ?

No, me lo sono inventato: avevo pensato anche a quel testo ma mi sembrava troppo facile. Così ho cambiato le carte in tavola e ho deciso di scriverlo così dato che mi sembrava più interessante.

PS. Anche io non riesco a risolverlo con metodi elementari (ammesso che abbia una soluzione!).

Le cose si complicano: per $ p=11 $ esistono le soluzioni intere $ (5,-4) $ e $ (-4,5) $.

Eleven ha scritto:No, me lo sono inventato: avevo pensato anche a quel testo ma mi sembrava troppo facile. Così ho cambiato le carte in tavola e ho deciso di scriverlo così dato che mi sembrava più interessante.

PS. Anche io non riesco a risolverlo con metodi elementari (ammesso che abbia una soluzione!).

No comment -.-

La mia soluzione è in parte sbagliata (mi ricordavo male la formule di Cardano, applicata quando y è minore di 0), però si salvano il caso in cui x e y sono entrambi positivi e inoltre il caso in cui sono entrambi negativi è banale.
Rimane quindi il caso in cui sono uno positivo e uno negativo, e se pongo WLOG y negativo allora si tratta di risolvere:
$ x^3+3xy-y^3=p^2 $ con x,y interi positivi e p primo.