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Sia dato un primo $p$ che divide $x^2+2y^2$ per qualche intero $x,y$, con $p \nmid y$. Mostrare che esistono interi $a,b$ tali che $p=a^2+2b^2$, con $b\neq 0$.

$ (\frac{x}{y})^2 \equiv -2 \mod{p} $. Sia $ \alpha $ tale che $ \alpha^2 \equiv -2 $: allora è sufficiente che $ x \equiv \alpha y $; e per il lemma di Thue tale equazione ha soluzione con $ x, y< \sqrt p $. Allora $ x^2+2y^2<3p $; se $ x^2+2y^2=p $ la tesi è soddisfatta, se invece $ x^2+2y^2=2p $ basta sostituire $ x $ con $ \frac{x}{2} $.

kalu ha scritto:.. e per il lemma di Thue ..

Giusto, ma ci spieghi meglio cos'è? Non penso che tutti lo conoscano..

Chiaramente è un fatto poco noto (io l'ho imparato per caso qualche giorno fa curiosando per wikipedia). Ero sul punto di linkare qualcosa che lo spiegasse bene, ma poi non l'ho fatto più perchè mi sono reso conto di quanto sia facile trovarlo su google. Comunque: http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Thue. Forse non è fra i lemmi più utili di TdN, ma io l'ho trovato interessante