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Dimostrare che per ogni terna di numeri positivi $ (a,b,c) $ si ha:
$ 8abc \leq (a+b)(b+c)(a+c) \leq \displaystyle\frac{8}{3}\cdot (a^3+b^3+c^3) $.

Questa è la mia soluzione:

D: Non ho mai imparato il bunching e non ho intenzione di scomodarmi per una gara provinciale XD

$\displaystyle abc = \sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca} \leq \frac{a+b}{2}\cdot \frac{b+c}{2} \cdot \frac{c+a}{2}$ per AM-GM: è la prima

$\displaystyle (a+b)(b+c)(c+a) \leq \left( \frac{2a+2b+2c}{3} \right) ^3$ per GM-AM. Resta da dimostrare che $\displaystyle \left( \frac{a+b+c}{3} \right) ^3 \leq \frac{a^3+b^3+c^3}{3}$ che la prima cosa che mi viene da dire è che è valida per jensen... E che col senno di poi m'accorgo essere vera per una banalissima AM-CM

O CM-AM

Io avevo pensato a una cosa di questo tipo.

$ 8abc \leq (a+b)(b+c)(a+c) $ che diventa: $ 6abc \leq a^2b+c^2a+b^2c+a^2c+ab^2+bc^2 $
Con AM-GM viene che: $ \displaystyle{\frac{a^2b+c^2a+b^2c+a^2c+ab^2+bc^2}{6} \geq \sqrt[6]{a^6b^6c^6}} $ E quindi togliendo la radice e moltiplicando per 6 risulta vera.

Mentre per quanto riguarda:
$ 2abc+a^2b+c^2a+b^2c+a^2c+ab^2+bc^2 \leq \displaystyle\frac{8}{3}\cdot (a^3+b^3+c^3) $, per riarrangiamento si nota che $ a^2b+ac^2+b^2c \leq a^3+b^3+c^3 $ e che $ a^2c+ab^2+bc^2 \leq a^3+b^3+c^3 $. Quindi rimane $ 2abc \leq \displaystyle{\frac{2}{3}(a^3+b^3+c^3)} $ che è vera perchè la media cubica è maggiore o uguale alla media geometrica.

Non so se va bene, è uno dei primi esercizi di questo tipo che faccio.