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Sapendo che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo e $x,y,z$ le sue mediane, dimostrare che si ha

$2(x^2+y^2+z^2) \le 3(ab+bc+ca) \le 4(x^2+y^2+z^2)$

e analizzare, separatamente per le due disuguaglianze, i casi di uguaglianza

Per il teorema di stuart si ha che, detta $T_{xy}$ la lunghezza della mediana compresa tra i lati $x$ e $y$, $\displaystyle T_{xy}^2 = \frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$. Quindi $\displaystyle \sum_{cyc}T_{ab}^2= \frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4} = \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$. La disequazione di partenza diventa quindi $\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{2}\quad \overset{1}{\leq}\quad ab+bc+ca \quad \overset{2}{\leq} \quad a^2+b^2+c^2$.
1) per il teorema di carnot, con la solita notazione, $a^2+b^2 = c^2+2ab\cos{\gamma}$ e quindi la disequazione diventa $ab\cos{\gamma} +c^2 \leq ab+bc+ca$ ovvero $(\cos{(\gamma)}-1)ab \leq 0 \leq c(a+b-c)$ dove l'ultima disuguaglianza vale per la disuguaglianza triangolare.
2) Per AM-GM $\displaystyle a^2+b^2+c^2= \frac{a^2+b^2}{2}+ \frac{c^2+b^2}{2}+ \frac{a^2+c^2}{2} \geq ab+bc+ac$