OliForum Matematico

Ciao a tutti, volevo chiedere agli atenti più esperti di me in che direzioni si sta muovendo (se si sta muovendo) oggi giorno la ricerca nel campo della geometria Euclidea. Sfogliando le varie riviste che si trovano in biblioteca non sono MAI riuscito a trovare una pubblicazione di Geometria euclidea. Come mai non c'è interesse? Non ci sono ulteriori sbocchi applicativi? O forse sappiamo "tutto" quello che si più sapere in questa disciplina? A tal proposito volevo chiedere anche se ci sono congetture aperte di un certo rilievo di geometria euclidea?

google is your friend.
almeno in parte: uno dei primi risultati per "open problems in euclidean geometry" è questo, da cui poi si arriva qui.

per quanto riguarda la ricerca in geometria euclidea, la voce che ho sempre sentito in giro è "nessun dipartimento fa ricerca in geometria euclidea" (il che non vuol dire che la gente non lo faccia a tempo perso). però, googlando "journal of euclidean geometry" si trova un "forum geometricorum - a journal on classical euclidean geometry" in cui evidentemente la gente ci pubblica qualcosa.

Per come la vedo io, il problema è che la matematica è cambiata dai tempi di Euclide. L'interesse moderno è più sulle strutture che non sui singoli problemi, quindi si cerca di generalizzare le cose al contesto più ampio possibile e capire quali sono davvero le ipotesi cruciali che servono per farle funzionare. Per questo tutte le volte che un matematico moderno ha un problema o una configurazione interessante nel piano euclideo, la prima cosa che pensa è: "certo non sarà un caso se questo funziona nel piano euclideo. In quale contesto più ampio funziona? Come posso generalizzarlo?". A seconda di come si generalizza, ecco che il tuo problema di geometria euclidea diventa un problema di algebra lineare o di analisi complessa o di topologia.

Per lo stesso motivo oggi nessuno fa più ricerca sulle magiche proprietà del numero 1729; la gente fa ricerca su quali numeri naturali si scrivono come somma di due cubi. O piuttosto, sulle somme di $n$ potenze $k$-esime in estensioni finite di $\mathbb{Q}$ --- le generalizzazioni non finiscono mai, in un certo senso.

[disclaimer: non sono un teorico dei numeri, quindi l'esempio qui sopra può non riflettere la realtà al 100%, è solo un esempio]

Dovresti dirci anche cosa intendi per "geometria euclidea".
Se intendi la geometria euclidea sintetica, nel senso degli assiomi di Euclide (o un loro riammodernamento) e i vari "prendi il punto, traccia la perpendicolare…" , come materia di ricerca è di fatto morta con la geometria analitica, nel senso che, come saprete bene, ogni problema "euclideo" si può trasformare in conti.
Questo non toglie l'interesse che hanno le dimostrazioni sintetiche, ma ne ha cambiato la natura: il campo è diventato più di "curiosità per appassionati" che non frontiera di ricerca; c'era sicuramente molta geometria euclidea ancora nell'Ottocento, penso ad esempio ai vari centri meno noti dei triangoli, ma ho un po' la sensazione che già allora fosse marginale rispetto agli argomenti di ricerca.

Altre domande, come ad esempio le costruzioni con la sola riga, il solo compasso, quadrature, poligoni regolari (che tenderei a definire più "sulla geometria euclidea", che "di geometria euclidea") portano in modo piuttosto naturale ad altri campi della matematica, che hanno spesso avuto in questi problemi geometrici le loro motivazioni; tuttavia io non chiamerei l'impossibilità di quadrare il cerchio un risultato di geometria euclidea, è un risultato di teoria dei numeri.

La geometria euclidea come struttura formale, è stata studiata dal punto di vista della logica nei primi del Novecento, sono state individuate le pecche negli assiomi di Euclide (pecche nel senso di cose che lui dava per ovvie, tipo le proprietà della relazione "il punto A sta tra i punti B e C della retta l", non sto parlando delle parallele) e Hilbert ha dato gli assiomi completi che aggiornano quelli di Euclide agli standard moderni di rigore matematico; ne è seguita la dimostrazione formale che la geometria sintetica è "meno potente" dell'algebra, nel senso che non ci sono risultati che puoi dimostrare che gli assiomi e non con i conti.

Tutto questo per dire che la metodologia della geometria euclidea è in effetti obsoleta, non troverai facilmente un articolo di ricerca che usa le proprietà del punto di Gergonne. Certamente ci sono riviste specializzate, e non mi stupirei di trovare qualche ingegnosa dimostrazione sintetica sull'American Mathematical Monthly, ma per il gusto di una dimostrazione elegante, non per l'interesse del risultato, o come prima dimostrazione di un fatto nuovo.

D'altro canto, il piano o lo spazio sono elementi centrali per la nostra immaginazione, e problemi sugli enti geometrici più elementari, magari anche problemi che si sarebbe potuto porre Euclide, saranno sempre attuali. Ma questi problemi sono spunti per dimostrazioni e trattazioni che non hanno nulla di euclideo e si affrontano con teoria dei campi, geometria algebrica, topologia, combinatoria…
Anche guardando i link dati da ma_go, non vedo molti risultato che metterei sotto l'etichetta di geometria euclidea.

Questo è il mio punto di vista, forse non è universale ma credo sia abbastanza oggettivo; correggetemi se sono stato inaccurato.

@fph: Non sai quante persone stanno cercando di scoprire se 33 è somma di tre cubi o no.