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Ecco il problema (è giapponese, se può interessare):
Dati due triangoli $PAB$ e $PCD$ tali che $PA=PB$ e $PC=PD$ e $C$, $A$, $P$ sono allineati (in quest'ordine) e $B$, $P$, $D$ sono allineati (in quest'ordine). Siano $\Gamma_1$ (centro $O_1$) e $\Gamma_2$ (centro $O_2$) due circonferenze passanti rispettivamente per $A,C$ e $B,D$ e siano $X$ e $Y$ le intesezioni di $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ e sia $O$ il circocentro di $PXY$. Dimostrare che $O$ è il punto medio di $O_1O_2$

Probabilmente ci sono anche altre soluzioni, ma ecco l'hint (un po' pesante ) per la mia (che, modestia a parte , ritengo fighissima e forse anche istruttiva....):

Tanto per rilanciare il problema prima che scenda troppo in basso (voglio vedere la soluzione!!! ) inizio ad abbordarlo. Essenzialmente la soluzione si divide in due:

i)Dimostrare che i circocentri sono allineati
ii)Dimostrare che le distanze tra di essi sono effettivamente uguali.

Il primo punto è quasi banale, basta considerare che le tre circonferenze intersecano lo stesso asse radicale in X,Y. Quanto al secondo, vista la relativa complessità del problema, penso ci siano più modi per dimostrarlo... Uno è sicuramente usare l'hintone
Un'altra osservazione: se O è equidistante da O1 e O2 vuol dire che è anche centro di una circonferenza di diametro O1O2... possibile che il problema sia simile al secondo geometrico di Cesenatico 2009?

LEMMA: Date 2 circonferenze $ \Gamma_{1} $ e $ \Gamma_{2} $ che si intersecano in X e Y, il luogo dei punti P tali che $ pow_{\Gamma_1}(P)=-pow_{\Gamma_2}(P) $ è la circonferenza con centro il punto medio dei 2 centri e passante per X e Y. In analitica si fa con un conto...
P soddisfa la condizione sulle potenze --> P appartiene alla circonferenza per X e Y con centro il punto medio di $ O_1O_2 $--> $ \square $

Edit: ok leggendo l'hint mi sono accorto che è la stessa dimostrazione di 53thebest XD

Rilancio con un problema che si può risolvere con la (quasi) stessa idea:
Sia ABC un triangolo e siano P e Q due punti tali che $AP : AQ = BP : BQ = CP : CQ$ dimostrare che P, Q ed O (circocentro di ABC sono allineati)