Deliri passatimi per la testa prima di addormentarmi
Inviato: 18 feb 2012, 14:31
Avete visto il titolo quindi non vi aspettate qualcosa di realmente utile in questo post 
Date delle circonferenze $\displaystyle \Gamma_i$ (con $i$ che va da $1$ a $\displaystyle n$)(con $O_i$ centro di $\Gamma_i$), sia $\Gamma$ il luogo dei punti $P$ tali che:
$$
\sum_{i=1}^n a_i Pow_{\Gamma_i}(P)=0
$$
($a_i$ sono reali qualsiasi)($Pow$ indica la potenza rispetto a una circonferenza di un punto). D'ora in poi scriverò $\displaystyle\Gamma=\frac{\sum_{i=1}^n a_i \Gamma_i}{\sum_{i=1}^n a_i}$.
1) Dimostare che $\Gamma$ è una circonferenza (anche degenere e volendo complessa);
2) Dimostrare che il centro di $\Gamma$ è:
$$
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i O_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}
$$
(dove $O_i$ vanno interpretati come vettori in un sistema di riferimento che potete scegliere a caso, tanto non cambia)
3) Dimostare che:
$$
\frac{\displaystyle \left(\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i\right) \displaystyle \left(\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i \Gamma_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i} \right)+\left(\displaystyle\sum_{i=k+1}^n a_i\right) \left(\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=k+1}^n a_i \Gamma_i}{\displaystyle\sum_{i=k+1}^n a_i} \right)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i \Gamma_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}
$$
4) Dimostrare che date $\Gamma_1, \Gamma_2$ e $\Gamma_3$ passanti per un punto $X$ allora ogni circonferenza $\Gamma$ passante per $X$ può essere scritta come $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^3 a_i \Gamma_i}{\sum_{i=1}^3 a_i}$ (scegliendo opportunamente i tre numeri $a_i$)
5) Dimostrare che date quattro circonferenze $\Gamma_1, \Gamma_2$ e $\Gamma_3$ e $\Gamma_4$ ogni circonferenza del piano può essere scritta come $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^4 a_i \Gamma_i}{\sum_{i=1}^4 a_i}$ (scegliendo opportunamente i quattro numeri $a_i$)
Date delle circonferenze $\displaystyle \Gamma_i$ (con $i$ che va da $1$ a $\displaystyle n$)(con $O_i$ centro di $\Gamma_i$), sia $\Gamma$ il luogo dei punti $P$ tali che:
$$
\sum_{i=1}^n a_i Pow_{\Gamma_i}(P)=0
$$
($a_i$ sono reali qualsiasi)($Pow$ indica la potenza rispetto a una circonferenza di un punto). D'ora in poi scriverò $\displaystyle\Gamma=\frac{\sum_{i=1}^n a_i \Gamma_i}{\sum_{i=1}^n a_i}$.
1) Dimostare che $\Gamma$ è una circonferenza (anche degenere e volendo complessa);
2) Dimostrare che il centro di $\Gamma$ è:
$$
\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i O_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}
$$
(dove $O_i$ vanno interpretati come vettori in un sistema di riferimento che potete scegliere a caso, tanto non cambia)
3) Dimostare che:
$$
\frac{\displaystyle \left(\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i\right) \displaystyle \left(\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i \Gamma_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^k a_i} \right)+\left(\displaystyle\sum_{i=k+1}^n a_i\right) \left(\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=k+1}^n a_i \Gamma_i}{\displaystyle\sum_{i=k+1}^n a_i} \right)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i \Gamma_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}
$$
4) Dimostrare che date $\Gamma_1, \Gamma_2$ e $\Gamma_3$ passanti per un punto $X$ allora ogni circonferenza $\Gamma$ passante per $X$ può essere scritta come $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^3 a_i \Gamma_i}{\sum_{i=1}^3 a_i}$ (scegliendo opportunamente i tre numeri $a_i$)
5) Dimostrare che date quattro circonferenze $\Gamma_1, \Gamma_2$ e $\Gamma_3$ e $\Gamma_4$ ogni circonferenza del piano può essere scritta come $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^4 a_i \Gamma_i}{\sum_{i=1}^4 a_i}$ (scegliendo opportunamente i quattro numeri $a_i$)