OliForum Matematico

Sono quasi sicuro che sia una stupidaggine ma non ne vengo proprio fuori....
<BR>
<BR>devo calcolare il limite per x->0 di (1/sinx)-
<BR>(1/x)
<BR>
<BR>Mi sembra evidente il risultato 0 ma non mi riesce proprio di dimostrarlo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>Ciao

La dimostrazione del fatto che
<BR>
<BR>lim(x->0) (sin x)/(x) = 1
<BR>
<BR>la trovi in tutti i libri di analisi e sfrutta le
<BR>minoranti/maggioranti. Tu devi trovare
<BR>
<BR>
<BR>lim(x->0) (sin x - x) / (x sin x) =
<BR>lim(x->0) ((sin x / x) - 1) / (sin x) =
<BR>lim(x->0) 0 / sin x = 0 cvd

Così però non va bene.
<BR>Non puoi affermare infatti che
<BR>lim(x->0) 0 / sin x = 0
<BR>perchè il limite di sin x e\' 0 dunque essa è una forma indeterminata del tipo 0/0.
<BR>Il problema si ripropone....

Io invece credo vada bene... prendi la funzione
<BR>
<BR>y = x / x
<BR>
<BR>essa nient\'altro è che una retta parallela
<BR>all\'asse x, e il punto di ascissa zero costituisce
<BR>una discontinuità eliminabile, in quanto il
<BR>limite destro e il sinistro della funzione in
<BR>quel punto coincidono e valgono 1. Per cui
<BR>credo si possa affermare tranquillamente che
<BR>
<BR>lim(x->0) x/x = 1
<BR>
<BR>e, analogamente
<BR>
<BR>lim(x->0) 0 / sin(x) = 0
<BR>

No assolutamente... 0/0 e\' una forma indeterminata punto e stop.
<BR>prendi ad esempio
<BR>lim(x->0) x/x^2
<BR>secondo il tuo ragionamento sarebbe 0/x^2 e dunque 0?
<BR>Proprio non ci siamo....

Se avete gia\' trattato (o comunque conosci) il treorema di Rolle (mi pare che sia questo il nome. In ogni caso intendo quello che dice che per una funzione \"liscia\" esiste una tangente in uno dei suoi punti che e\' parallela alla corda che unisce gli estremi) per cui
<BR>
<BR>f(b)-f(a)=(b-a)f\'(e) con a\"<\"e\"<\"b si puo\' utilizzarlo per trovare il tuo limite.
<BR>
<BR>Da questo teorema si ha che:
<BR>
<BR>sen(x)=xcos(e) con 0 \"<\" e \"<\" x o e=tx con 0 \"<\" t \"<\" 1
<BR>
<BR>(tra l\'altro da qui si ricava velocemente che sen(x)/x=cos(e)-->1 per x-->0).
<BR>
<BR>Quindi 1/x-1/sen(x)=1/x-1/(xcos(e))=
<BR> t/cos(e) (cos(e)-1)/e.
<BR>
<BR>Per x-->0 (essendo t limitato) e-->0.
<BR>Percio\' t/cos(e)-->t
<BR>
<BR>mentre
<BR>
<BR>(cos(e)-1)/e -->0.
<BR>
<BR>Inftatti appliccando ancora Rolle:
<BR>
<BR>(cos(e)-1)/e=-sen(d) con 0 \"<\" d \"<\" e.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>Un altra via potrebbe essere quella di limitare la tua f(x) tra due funzioni che tendono a zero.
<BR>
<BR>Ad esempio |f(x)|>=|sen(x)/x-1| da un lato e dall\'altro ora non mi viene ma credo che qualcosa si possa trovare.
<BR>
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
<BR>Sprmnt21
<BR>PS
<BR>allora per y abbastanza piccole e positive
<BR>
<BR>2y \">\" sen(2y)
<BR>
<BR>da cui segue che 1/sen(x) >= cos(x)/x e quindi
<BR>
<BR>
<BR>1/x-1/sen(x) =< (1-cos(x))/x
<BR>
<BR>
<BR>
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<BR><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: sprmnt21 on 2001-11-23 10:45 ]</font>

Jimmy jimmy...
<BR>
<BR>non mi pare che la funzione
<BR>
<BR>y = x / x^2
<BR>
<BR>presenti in 0 una DISCONTINUITà ELIMINABILE
<BR>
<BR>infatti
<BR>
<BR>lim(x->0-) x / x^2 = - inf
<BR>lim(x->0+) x / x^2 = + inf
<BR>
<BR>mentre io avevo sostenuto un certo discorso
<BR>nel caso in cui LIMITE DESTRO E SINISTRO
<BR>coincidessero, come del resto avviene in
<BR>
<BR>y = 0 / sin(x)
<BR>
<BR>infatti
<BR>
<BR>lim(x->0-) y = lim(x->0+) y = 0
<BR>

Scriviamo il limite come (x-sin(x))/(x*sin(x)), e applichiamo 2 volte il teorema di De L\'Hospital, ottenendo 0.<BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: The_Master on 2001-11-25 00:13 ]</font>

il tutto si può risolvere a occhio...per un criterio semplicissimo che va sotto il nome di ordine di infinetisimo, la funzione sin x è \"veloce\" come la funzione x ( si ricorda lo sviluppo in serie di Taylor) e pertanto la funzione differenza tende a zero!!![addsig]

Allora, jimmy, si può scrivere benissimo che lim 0/x o 0/sinx per x->0 è 0. La discontinuità si può eliminare come ti hanno spiegato; se non fosse così, non esisterebbero le derivate(che con passaggio al limite danno tutte 0/0, il passaggio al limite, ovvero per calcolare lim a/b fare lim a/lim b, è valido solo se lim b =/=0!); terzo, il limite c\'è perché dato qualunque eta, tutti gli elementi della successione sono in (-e,+e) xché sono 0. Tutti tranne 0/0... ma per x->0 significa che x ci diventa 0 o no? dato che funziona evidentemente x non diventa per forza 0, ma com\'è la definizione esatta?

ah sprmnt il teorema è di Lagrange

Tu inizia a imbottirti per bene e a scappare. Ti conviene cominciare da subito.

\"Azarus, alzati e cammina!\"
<BR>Anzi, alzati e mettiti a correre, prima che ti becchi.
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">

Why?

comunque quella cosa greca che sembra un seno ruotato di pi/2 è una epsilon...