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Siano $a_1,a_2,...,a_n, b_1, b_2,...,b_n$ numeri reali, allora mostrare che $\displaystyle 1+\sum_{1\le i\le n}{(a_i+b_i)^2}\le \frac{4}{3}\left(1+\sum_{1\le i\le n}{a_i^2} \right)\left(1+\sum_{1\le i\le n}{b_i^2} \right)$.

Riscrivo la disuguaglianza come:
$ 2\sum{a_1b_1}\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sum{a_1^2}+\frac{1}{3}\sum{b_1^2}+\frac{4}{3}\sum{a_1^2}\sum{b_1^2} $
Adesso posso supporre tranquillamente che i numeri sono tutti maggiori o uguali a 0. Quindi vale che $ \sum{a_1^2}\sum{b_1^2}\geq (\sum{a_1b_1})^2 $ per C-S e che $ \sum{a_1^2}+\sum{b_1^2} \geq 2\sum{a_1b_1} $ per AM-GM, dunque la disuguaglianza diventa
$ (2\sum{a_1b_1}-1)^2\geq 0 $, che è sempre vera.