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Esiste una forma chiusa per $\displaystyle \sum_{k=0}^n x^{a^k}$ ?

Qui potrebbero nascere dibattiti più filosofici che altro... Ma è meglio chiudere subito e estirpare i dubbi...
No, non esiste una forma chiusa.

dario2994 ha scritto:Qui potrebbero nascere dibattiti più filosofici che altro... Ma è meglio chiudere subito e estirpare i dubbi...
No, non esiste una forma chiusa.

Immaginavo. Come dimostrarlo?
C'è qualche dispensa su discussioni del genere?

Mi sa che non hai capito proprio benissimo. Volevo evitare discussioni di questo genere...
Comunque ti spiego il problema fondamentale della tua domanda

Cosa è una formula chiusa?

Se dai una definizione di questo magari pensiamo anche ad una dimostrazione.
La mia risposta di prima vuol dire: non ho mai visto una "formula chiusa" per quella roba e non credo esista.

http://en.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression
In ogni caso no, non esiste

Va bien, ora che si è chiarito il significato di 'forma chiusa', è dimostrabile questo fatto? è elementare?

Forse non si è proprio chiarito, visto che riproponi la domanda in questi termini…
"Forma chiusa" è un'espressione informale che non ha una definizione precisa universalmente accettata; va bene usarla quando è chiaro di cosa si parla, ma se cerchi delle vere dimostrazioni devi dire cosa intendi davvero, cioè devi scegliere un insieme più o meno arbitrario di funzioni che chiami "elementari".

Dimostrare che la serie che hai scritto non è una funzione razionale è alla portata di uno studente del primo anno.
Dimostrare che non può essere espressa usando combinazioni di radici—più in generale ancora, che non è una funzione algebrica—si può fare dopo un corso di analisi complessa.
Quando ammetti anche altre funzioni trascendenti come esponenziale e logaritmo diventa più complicato e non ho in mente una dimostrazione completa così su due piedi, ma sicuramente cercando in giro si dovrebbe trovare.

FrancescoVeneziano ha scritto:Forse non si è proprio chiarito, visto che riproponi la domanda in questi termini…
"Forma chiusa" è un'espressione informale che non ha una definizione precisa universalmente accettata; va bene usarla quando è chiaro di cosa si parla, ma se cerchi delle vere dimostrazioni devi dire cosa intendi davvero, cioè devi scegliere un insieme più o meno arbitrario di funzioni che chiami "elementari".

Dimostrare che la serie che hai scritto non è una funzione razionale è alla portata di uno studente del primo anno.
Dimostrare che non può essere espressa usando combinazioni di radici—più in generale ancora, che non è una funzione algebrica—si può fare dopo un corso di analisi complessa.
Quando ammetti anche altre funzioni trascendenti come esponenziale e logaritmo diventa più complicato e non ho in mente una dimostrazione completa così su due piedi, ma sicuramente cercando in giro si dovrebbe trovare.

Sottintendevo che bisognasse considerare tutte le funzioni elementari. Comunque grazie

E io invece intendevo che non ci sono "tutte le funzioni elementari". Ok a usare l'espressione in modo informale, ma se cerchi un enunciato preciso devi dire quali consideri. Perché fermarsi all'esponenziale e al logaritmo e trascurare la $\Gamma$ o la $\mathrm{B}$? La $\zeta$ di Riemann o la $\wp$ di Weierstrass? E le funzioni di Bessel? La funzione di Airy? I polilogaritmi? Le serie ipergeometriche? Ogni campo della matematica ha le sue "funzioni elementari" che difficilmente sono quelle che hai in mente tu. Per questo se chiedi una dimostrazione devi specificare cosa vuoi dimostrare.
Oppure lascia la domanda nel vago ed accontentati della prima risposta di dario2994.

FrancescoVeneziano ha scritto:E io invece intendevo che non ci sono "tutte le funzioni elementari". Ok a usare l'espressione in modo informale, ma se cerchi un enunciato preciso devi dire quali consideri. Perché fermarsi all'esponenziale e al logaritmo e trascurare la $\Gamma$ o la $\mathrm{B}$? La $\zeta$ di Riemann o la $\wp$ di Weierstrass? E le funzioni di Bessel? La funzione di Airy? I polilogaritmi? Le serie ipergeometriche? Ogni campo della matematica ha le sue "funzioni elementari" che difficilmente sono quelle che hai in mente tu. Per questo se chiedi una dimostrazione devi specificare cosa vuoi dimostrare.
Oppure lascia la domanda nel vago ed accontentati della prima risposta di dario2994.

Per ora mi accontenterei di dimostrare che la serie che ho scritto non è una funzione razionale. Mi potreste passare qualche dispensa a riguardo?