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Trovare le trple di interi positivi $(m,n,k)$ tali che $3^m=2^k+7^n$

Ci provo. $ 3^m=2^k+7^n $
Noto la soluzione $ (m,n,k)=(2,1,1) $ ed assumo $ m,n,k >1 $.
Guardando l'equazione modulo 3 si ha $ (-1)^k+1^n \equiv 0 \pmod{3} $ da cui $ k=2k'+1 $.
Sostituisco ed ottengo: $ 3^m-7^n=2^{2k'+1} $. Adesso suppongo $ k>1 $ quindi $ (-1)^m-(-1)^n \equiv 0 \pmod {4} $. Ma allora $ m $ ed $ n $ deve essere pari o dispari.

1)Suppongo che siano entrambi pari. Riscrivo allora come $ (3^{m'}+7^{n'})(3^{m'}-7^{n'})=2^{2k'+1} $. Allora si dovrebbe avere $ 3^{m'}+7^{n'}=2^t $, ed $ 3^{m'}-7^{n'}=2^s $ con e $ t>s $ e $ 2^s\cdot 2^t=2^{2k'+1} $. Sommo le due equazioni ed ottengo che $ 2 \cdot 3^{m'}=2^s+2^t $. Analizzo i casi in cui $ t,s>1 $ allora non ci sono soluzioni perchè la somma di due pari non può essere potenza di dispari. Se invece $ s=1 $ ottengo soluzioni risolvendo $ 3^{m'}-2^{t-1}=1 $ Procedo così:

1a) Se $ m' $ è pari sostituisco $ m'=2m'' $. Riscrivo come $ (3^{m''}+1)(3^{m''}-1)=2^{t-1} $.

Quindi si deve avere che $ \begin{cases} 3^{m''}+1=2^i \\3^{m''}-1=2^j \\ 2^j \cdot 2^i=2^{t-1} \end{cases} $. Sottraggo la seconda equazione dalla prima ed ottengo che: $ 2^j-2^i=2 $, adesso la sequenza delle potenze di $ 2 $ è: $ 1,2,4,8,16... $, e poiché la funzione esponenziale $ y=2^x $ è strettamente crescente si ha che la differenza di due potenze consecutive diventa sempre maggiore. Quindi osservando le potenze del 2 si trova che l'unica soluzione è per $ j=2 $ e $ i=1 $. Trovo adesso i valori di $ 3^{m''} $, soluzioni del sistema, sostituendo $ 3^{m''}=3 $ che è verificata per $ m''=1 $. Questa è l'unica soluzione.

2a) Provo i casi di $ t<4 $ e trovo la soluzione $ m'=1 $ ed $ t=2 $. Assumo quindi $ t>4 $. Adesso considero il caso in cui $ m'=2l+1 $. Quindi $ 3^{2l+1}-1=2^{t-1} $, allora modulo $ 4 $ si ottiene che $ 3^{2l+1}-1 \equiv 0 \pmod{4} $, ma ciò è assurdo perché $ 3^{2l+1}\equiv 3 \pmod{4} $.

Quindi l'unica soluzione è data per $ m'=2 $ e $ t=4 $.

Le soluzioni sono $ (m',t,s)=(1,2,1)(2,4,1) $.

Ritornando all'equazione iniziale trovo come soluzioni $ (m,n,k)=(4,2,5) $.

2) Se $ m $ ed $ n $ sono dispari e poichè $ m,n,k >1 $ si ha che analizzando come al solito le potenze del 3 dispari e quelle del 7 dispari modulo 8 non ci sono soluzioni.

In conclusione le soluzioni intere positive sono: $ (m,n,k)=(2,1,1),(4,2,5) $.

Hawk ha scritto: $ (-1)^m-(-1)^n \equiv 0 \pmod {4} $. Ma allora uno tra $ m $ ed $ n $ deve essere pari e l'altro dispari.

$-1 \equiv 1 \pmod4$ ?

Oh, è vero devono essere o tutti e due pari o tutti e due dispari.
Edito.