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Massimizzare la superficie $ S $ di un triangolo di perimetro $ 2p $ assegnato

Per la formula di Erone $ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $ dove a, b, c sono i lati del triangolo. Voglio quindi massimizzare (p-a)(p-b)(p-c), ma per GM-AM ho che $ (p-a)(p-b)(p-c) \leq (\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3})^3 = \frac{p^3}{27} $ e il massimo viene raggiunto quando p-a=p-b=p-c ovvero quando i lati sono tutti uguali (triangolo equilatero). In questo caso $ S=\frac{\sqrt{3} \cdot p^2}{9} $.

Ci ho messo più io a inventarlo che tu a risolverlo

metto la mia soluzione, prendo un triangolo qualsiasi di perimetro $ 2p $ chiamo i vertici $ A $ , $ B $ e $ C $, ora appoggio il mio triangolo sul lato $ AB $ la mia area è $ AB $ * $ h $ , disegno l'asse del segmento $ AB $ e faccio passare una retta $ r $ dal punto $ C $ parallela ad $ AB $ , la mia retta $ r $ interseca l'asse in un punto $ D $ ora noto che l'area del triangolo di partenza è uguale all'area del triangolo $ ABD $, ma il perimetro di $ ABD $ è minore di $ ABC $ perchè se prendo il simmetrico di $ A $ rispetto alla retta $ r $ che chiamo $ A' $ noto che il segmento di minima lunghezza che collega $ B $ con $ A' $ è il doppio di $ BD $ per cui posso dire che tra tutti i triangoli di base assegnata, quello di massima area è il triangolo isoscele.
Ora ruoto il triangolo e lo appoggio sul lato $ BD $ e rifaccio le mia costruzione, ruoto ancora il triangolo e lo poggio sull'altro lato e rifaccio la mia costruzione, a questo punto il mio triangolo iterando il procedimento all'infinito mi diventa simmetrico rispetto ai 3 assi dei suoi 3 lati e quindi mi diventa equilatero, in conclusione il triangolo cercato è quello equilatero.

fa un pò schifo ma dovrebbe essere corretto il ragionamento

pepsi ha scritto:.... ma il perimetro di ABD è minore di ABC perchè se prendo il simmetrico di A rispetto alla retta r che chiamo A′ noto che il segmento di minima lunghezza che collega B con A′ è il doppio di BD per cui posso dire che tra tutti i triangoli di base assegnata, quello di massima area è il triangolo isoscele......

non ho capito questo passaggio

zeitgeist505 ha scritto:

pepsi ha scritto:.... ma il perimetro di ABD è minore di ABC perchè se prendo il simmetrico di A rispetto alla retta r che chiamo A′ noto che il segmento di minima lunghezza che collega B con A′ è il doppio di BD per cui posso dire che tra tutti i triangoli di base assegnata, quello di massima area è il triangolo isoscele......

non ho capito questo passaggio

in pratica se tu hai 2 punti $ A $ e $ B $ e una retta $ r $ il cammino più breve che collega i due punti toccando la retta lo trovi costruendo il simmetrico di un punto ad esempio di $ A $ che chiamiamo $ A' $ e collegando $ B $ con $ A' $ , però per dire che $ BA' $ è il doppio di $ BD $ come ho affermato provalo a vedere così, costruisci anche il simmetrico di $ B $ rispetto a $ r $ e chiamalo $ B' $ ora hai creato un rettangolo $ AA'B'B $ di cui $ D $ è il punto centrale ora se tracci la diagonale del rettangolo (quella $ BA' $) vedi che passa per $ D $ poi sai che $ BD $ è uguale ad $ AD $ perchè $ D $ si trova sull'asse e $ A'D $ è uguale a $ AD $ perchè è il simmetrico di $ AD $ rispetto a $ r $ per cui...

pepsi ha scritto:

zeitgeist505 ha scritto:

pepsi ha scritto:.... ma il perimetro di ABD è minore di ABC perchè se prendo il simmetrico di A rispetto alla retta r che chiamo A′ noto che il segmento di minima lunghezza che collega B con A′ è il doppio di BD per cui posso dire che tra tutti i triangoli di base assegnata, quello di massima area è il triangolo isoscele......

non ho capito questo passaggio

in pratica se tu hai 2 punti $ A $ e $ B $ e una retta $ r $ il cammino più breve che collega i due punti toccando la retta lo trovi costruendo il simmetrico di un punto ad esempio di $ A $ che chiamiamo $ A' $ e collegando $ B $ con $ A' $ , però per dire che $ BA' $ è il doppio di $ BD $ come ho affermato provalo a vedere così, costruisci anche il simmetrico di $ B $ rispetto a $ r $ e chiamalo $ B' $ ora hai creato un rettangolo $ AA'B'B $ di cui $ D $ è il punto centrale ora se tracci la diagonale del rettangolo (quella $ BA' $) vedi che passa per $ D $ poi sai che $ BD $ è uguale ad $ AD $ perchè $ D $ si trova sull'asse e $ A'D $ è uguale a $ AD $ perchè è il simmetrico di $ AD $ rispetto a $ r $ per cui...

p.s.
la frase "tra tutti i triangoli di base assegnata, quello di massima area è il triangolo isoscele" mi sono accorto che è sbagliata dovevo dire tra tutti i triangoli di base assegnata e di uguale perimetro, quello di massima area è il triangolo isoscele

pepsi ha scritto: p.s.
la frase "tra tutti i triangoli di base assegnata, quello di massima area è il triangolo isoscele" mi sono accorto che è sbagliata dovevo dire tra tutti i triangoli di base assegnata e di uguale perimetro, quello di massima area è il triangolo isoscele

e dovresti dimostrarlo

zeitgeist505 ha scritto:

pepsi ha scritto: p.s.
la frase "tra tutti i triangoli di base assegnata, quello di massima area è il triangolo isoscele" mi sono accorto che è sbagliata dovevo dire tra tutti i triangoli di base assegnata e di uguale perimetro, quello di massima area è il triangolo isoscele

e dovresti dimostrarlo

hint: fissati A e B, qual è il luogo dei punti C tali che il perimetro di ABC sia fissato?

ma_go ha scritto:

zeitgeist505 ha scritto:

pepsi ha scritto: p.s.
la frase "tra tutti i triangoli di base assegnata, quello di massima area è il triangolo isoscele" mi sono accorto che è sbagliata dovevo dire tra tutti i triangoli di base assegnata e di uguale perimetro, quello di massima area è il triangolo isoscele

e dovresti dimostrarlo

hint: fissati A e B, qual è il luogo dei punti C tali che il perimetro di ABC sia fissato?

Un'ellisse?

e quindi è il vertice il punto di massima distanza dall'asse maggiore, in modo che l'altezza, quindi l'area del triangolo sia massimizzata $ \Rightarrow $ il triangolo isoscele è quello di maggior area dato triangolo con base e perimetro prefissati