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Siano $ x, y, z $ tre reali positivi che soddisfano:
$ {\frac{1}{3}}≤ xy + yz + zx ≤ 3 $

Determinare l'intervallo di valori che può assumere:
(i) $ x+y+z $
(ii)$ xyz $

(i) Per la disuguaglianza di McLaurin ho che $ \frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt{\frac{xy+yz+zx}{3}} \geq \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $ da cui $ x+y+z \geq 1 $ (si raggiunge se x=y=z=1/3). Tale quantità può crescere però arbitrariamente, infatti mi basta scegliere la terna $ (x, x^{-1}, x^{-1}) $ e avrò che $ xy+yz+zx=2+x^{-2} $ che rispetta ampiamente le disuguaglianze date per x abbastanza grande, ma $ x+y+z= x +2x^{-1} $ che può essere arbitrariamente grande al variare di x.

(ii) Per la disuguaglianza di McLaurin ho che $ \sqrt[3]{xyz} \leq \sqrt{\frac{xy+yz+zx}{3}} \leq \sqrt{1}=1 $ da cui $ xyz \leq 1 $ (lo raggiungo con x=y=z=1). Ora xyz può essere arbitrariamente prossimo allo 0, infatti mi basta scegliere la terna $ (x, x^{-1}, x^{-1}) $ e avrò che $ xy+yz+zx=2+x^{-2} $ che rispetta ampiamente le disuguaglianze date per x abbastanza grande, ma $ xyz=x^{-1} $ che può essere arbitrariamente prossima allo 0 al variare di x, ma non può essere mai 0 o minore di 0 perché x, y, z sono reali positivi.

Quindi $ (x+y+z) \in [1, +\infty) \ ; \ xyz \in (0, 1] $ al variare di x, y, z nei reali positivi. (non so se sia correttissima questa scrittura)

AAA approcci meno tecnici cercansi.
(senza offesa, Karl Zsigmondy: tanto più che la tua soluzione mi sembra corretta, da 7 punti)

In che senso? Ok, lui ha usato MacLaurin ma non è che sia un granchè per 3 variabili:

$\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt{\frac{xy+yz+xz}{3}} \iff (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz) \iff x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz \iff (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$

$\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt{\frac{xy+yz+xz}{3}}$ elevando al quadrato è proprio GM-AM.

ora sono più contento