OliForum Matematico

Siano $ p $ e $ q $ numeri primi che soddisfano:
$ \displaystyle\frac{p}{p+1}+\displaystyle\frac{q+1}{q}=\displaystyle\frac{2n}{n+2} $
per qualche intero positivo $ n $. Determinare tutti i possibili valori di $ q-p $.

Questa è la mia soluzione. ma non so' se è giusta.

è sbagliato l'ultimo passagio:

Giusto, come ho fatto a sbagliare la sottrazione!
Con la solita tecnica si ricava che la frazione è un numero intero e primo per $ n=28,19 $ generando $ q=5,7 $ da cui $ q-p=3,5 $.

Uhm... Che mi dici di questa: $\frac {3}{4} + \frac {6}{5} = \frac {39}{20} = \frac {156}{80} = \frac {2 \cdot 78}{2 + 78}$?
Perchè il testo non dice che la frazione a destra deve essere ridotta ai minimi termini...

Allora, credo di esserci.
Giunti ad $ \displaystyle\frac{q-p-1}{q(p+1)}=\displaystyle\frac{4}{n+2} $.Suppongo che $ q-p-1>1 $. Chiaramente è impossibile che $ q|q-p-1 $, quindi se $ gcd(q-p-1,p+1)=1 $ allora è impossibile che $ q-p-1=2,4 $ con $ p,q>2 $. E' possibile però che se $ gcd(q-p-1,q(p+1))=1 $ e $ 4|n+2 $ allora l'equazione con $ p,q>2 $ sia possibile. Per le proprietà del massimo comun divisore abbiamo: $ gcd(q-p-1,(p+1))=gcd(q,p+1)=q,1 $ se $ gcd=q $ andrei contro le ipotesi di $ q,p>2 $, da cui $ gcd=1 $. Per quanto detto prima allora le uniche soluzioni si hanno soltanto se $ q-p-1=1 $ da cui $ q-p=2 $. Troviamo una coppia. Sostituendo si trova che esistono soluzioni solo se $ n=4(p^2+3p+2) $ ed $ q=p+2 $, esempi sono le coppie $ (q,p)=(3,5);(7,5);(11,13) $ ecc.
Giunto fin qui continuo come nel primo messaggio suppongo $ p=2 $. Sostituendo nell'equazione iniziale si ricava $ \dfrac{1}{q}=\dfrac{n-10}{3n+6} $, da cui $ q=\dfrac{3n+6}{n-10} $. Adesso la frazione deve essere intera e prima, ciò accade per $ n=28,19 $ da cui $ q=5,7 $ e quindi $ q-p=3,5 $.
Infine $ q-p=2,3,5 $.

Hawk ha scritto:Giusto, come ho fatto a sbagliare la sottrazione!
Con la solita tecnica si ricava che la frazione è un numero intero e primo per $ n=28,19 $ generando $ q=5,7 $ da cui $ q-p=3,5 $.

Solita tecnica? Posta

ant.py ha scritto:

Hawk ha scritto:Giusto, come ho fatto a sbagliare la sottrazione!
Con la solita tecnica si ricava che la frazione è un numero intero e primo per $ n=28,19 $ generando $ q=5,7 $ da cui $ q-p=3,5 $.

Solita tecnica? Posta

Penso sia questa:

$\displaystyle{q=\frac{3n+6}{n-10}=\frac{3(n-10)+36}{n-10}=3+\frac{36}{n-10}}$

Ora si provano tutti i valori di $n$ per cui la frazione è intera (e non sono tanti) e poi si vede quando la somma è prima...

Non ricordo dove, ma da qualche parte ho visto un metodo alternativo per le equazioni del tipo:

$ axy+bx+cy+d=0 $
Dove $ a,b,c,d $ sono numeri interi già noti.

$ a^2xy+abx+acy+ad=0 $
$ a^2xy+abx+acy+ad+bc-bc=0 $
$ (ax+c)(ay+b)=bc-ad $

A volte l'ho trovato veloce, ma altre volte molto lento.. Dovrebbe essere particolarmente efficace quando a=1.

Posto la mia:

come già mostrato giocando con le frazioni si ha $ \displaystyle\frac{1}{p+1}-\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{4}{n+2} $ e togliendo i denominatori si arriva a $ (n+2)(q-p-1)=4q(p+1) $.

A questo punto dato che $ q|(n+2)(q-p-1) $, essendo $ q $ primo deve verificarsi che $ q|n+2 $ o $ q|q-p-1 $. Ma la seconda è impossibile perché $ q-p-1 < q $. Quindi $ q|n+2 \Rightarrow n+2=hq $.

Sostituiamo nell'equazione e abbiamo $ h(q-p-1)=4(p+1) $. Ora dividiamo due casi:

Caso 1: $ p=2 \Rightarrow h(q-3)=12 $. C'è solo da provare $ q=5 \Rightarrow h=6 $ che porta a $ q-p=5-2=3 $ e $ q=7 \Rightarrow h=3 $ che porta a $ q-p=7-2=5 $. Invece $ q=11 $ non porta a soluzioni ed è ovviamente impossibile $ q>12 $.

Caso 2: $ p>2 \Rightarrow q-p-1 $ è per forza dispari. Perciò deve essere che $ 4|h \Rightarrow h=4k $.
Sostituendo nell'equazione si ha: $ k(q-p-1)=p+1 $. Perciò $ q-p-1|p+1 $ e dato che ovviamente $ q-p-1|q-p-1 $ dividerà anche la somma tra le due e allora $ q-p-1|q $. Ma essendo $ q $ primo l'unica possibilità è che $ q-p-1=1 \Rightarrow q-p=2 $.
A questo punto basta trovare un caso in cui sia $ q-p=2 $, per esempio $ q=5, p=3, n=78 $.