OliForum Matematico

Dato un insieme {1,2,3,...n}
si prenda l'elemento più piccolo fra tutti i sottoinsiemi di r elementi e se ne faccia la media.
Dimostrare che é esattamente $ \frac{n+1}{r+1} $

Se $ r=1 $, la media sarà $ \frac{1+2+3...+n}{2} $ cioè $ \frac{n+1}{1+1} \cdot \frac{n}{2} $
Ho capito male io o...?

se r=1 la media é n(n+1)/2n=(n+1)/2 che soddisfa.....

Chiedo venia...

Bhè, sono nuovo qui, proviamo a risolvere qualcosa, non siate cattivi
vabbè il numero di sottoinsiemi di cardinalità r è uguale a $ \displaystyle\binom{n}{r} $
Essendo gli elementi di questi sottoinsiemi distinti, il minimo elemento $ m $ di un sottoinsieme qualsiasi dovrà essere $ \le n-(r-1) $ essendoci altri $ r-1 $ elementi maggiori di $ m $
Adesso provo a calcolare la somma di tutti gli $ m $: per $ m=n-r+1 $ ci sono $ \displaystyle\binom{r-1}{r-1} $ sottoinsiemi, per $ m=n-r $ ci sono $ \displaystyle\binom{r}{r-1} $ sottoinsiemi etc... La somma di tutti gli m è data da:
$ \displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a) $
Quindi la media (aritmetica suppongo) è $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}} $
Quindi se ora dimostrassi che $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}}=\displaystyle\frac{n+1}{r+1} $ avrei finito giusto?

Ertool ha scritto:Bhè, sono nuovo qui, proviamo a risolvere qualcosa, non siate cattivi
vabbè il numero di sottoinsiemi di cardinalità r è uguale a $ \displaystyle\binom{n}{r} $
Essendo gli elementi di questi sottoinsiemi distinti, il minimo elemento $ m $ di un sottoinsieme qualsiasi dovrà essere $ \le n-(r-1) $ essendoci altri $ r-1 $ elementi maggiori di $ m $
Adesso provo a calcolare la somma di tutti gli $ m $: per $ m=n-r+1 $ ci sono $ \displaystyle\binom{r-1}{r-1} $ sottoinsiemi, per $ m=n-r $ ci sono $ \displaystyle\binom{r}{r-1} $ sottoinsiemi etc... La somma di tutti gli m è data da:
$ \displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a) $
Quindi la media (aritmetica suppongo) è $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}} $
Quindi se ora dimostrassi che $ \frac{\displaystyle\sum_{a=r-1}^{n-1}\binom{a}{r-1} (n-a)}{\displaystyle\binom{n}{r}}=\displaystyle\frac{n+1}{r+1} $ avrei finito giusto?

Esatto, bravo, ora devi solo dimostrare l'ultima identità che hai scritto

Bravo Ert, soprattutto per aver imparato ad usare il LaTex in così poco tempo
Piccolo hint per concludrere: