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Paolo e Giovanni sono due amici appassionati di tiro con l'arco, Paolo colpisce il bersaglio nel 75% dei casi, Giovanni nell' 80%. Decidono di fare una gara osservando le seguenti regole:
- Lanceranno una moneta per decidere chi tirerà per primo: se esce testa sarà Paolo, se esce croce sarà Giovanni;
-Tireranno a turno e vincerà chi per primo farà centro.
Si calcoli:
a) la probabilità che Giovanni vinca al quinto tiro;
b) la probabilità che Paolo vinca entro il quarto tiro;
c) se in un certo tiro fissato, ad esempio il quindicesimo, si ottiene centro per la prima volta, la probabilità che a tirare sia stato Paolo;
d) scrivere una legge che consenta di calcolare la probabilità che Paolo vinca all'ennesimo lancio se ad iniziare è stato Giovanni.

quando dici "al quinto tiro" intendi il 5^ del giocatore o il 5^ in totale?

Hawk ha scritto:Paolo e Giovanni sono due amici appassionati di tiro con l'arco, Paolo colpisce il bersaglio nel 75% dei casi, Giovanni nell' 80%. Decidono di fare una gara osservando le seguenti regole:
- Lanceranno una moneta per decidere chi tirerà per primo: se esce testa sarà Paolo, se esce croce sarà Giovanni;
-Tireranno a turno e vincerà chi per primo farà centro.
Si calcoli:
a) la probabilità che Giovanni vinca al quinto tiro;
b) la probabilità che Paolo vinca entro il quarto tiro;
c) se in un certo tiro fissato, ad esempio il quindicesimo, si ottiene centro per la prima volta, la probabilità che a tirare sia stato Paolo;
d) scrivere una legge che consenta di calcolare la probabilità che Paolo vinca all'ennesimo lancio se ad iniziare è stato Giovanni.

Per "Colpire il bersaglio" nella prima riga, si intende fare centro o proprio colpire il bersaglio ? Se "Colpire il bersaglio" NON significa colpire il centro, mi sa che serve il rapporto tra le aree del "centro" e del bersaglio...

@Ertool: il quinto in totale.
@Mist: s'intende colpire proprio il bersaglio, non fare centro. Ho letto del tuo argento, complimenti!

Hawk ha scritto:@Ertool: il quinto in totale.
@Mist: s'intende colpire proprio il bersaglio, non fare centro. Ho letto del tuo argento, complimenti!

Grazie però potevo fare meglio dicono D: Comunque se colpiscono solo il bersaglio, serve sapere anche la probabilità che colpito il bersaglio si colpisca il centro, quindi il rapporto tra l'area del centro e quella del bersaglio complessivo... No ?

No, no si considera soltanto la probabilità di colpire il bersaglio che viene già data, nessun rapporto o centro. Infatti il problema non è molto complesso .

Dato che nessuno ci prova, tento io nonostante non sia un asso per la probabilità
1. Affinchè Giovanni possa vincere al quinto tiro, è necessario che sia lui a cominciare, di conseguenza la probabilità sarà: $ \left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\cdot\left(\frac{4}{5}\right) $ = $ \frac{1}{1000} $.
2. Suddivido in due casi.
Caso 1) Inizia Paolo: a) Paolo vince al primo turno; b) Paolo vince al terzo turno. $ a) \left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}\right) + b) \left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{1}{5}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}\right) $ $ =\frac{3}{8} + \frac{3}{160} =\frac{63}{160} $;
Caso 2) Inizia Giovanni: c)Paolo vince al secondo turno; d) Paolo vince al quarto turno. $ c) \left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{5}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}\right) + d) \left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{1}{5}\right)\cdot\left(\frac{1}{4}\right)\cdot\left(\frac{1}{5}\right)\cdot\left(\frac{3}{4}\right) $ $ = \frac{3}{40} + \frac{3}{800} = \frac{63}{800} $; di conseguenza la probabilità = $ \frac{63}{160} + \frac{63}{800} = \frac{189}{400} $
3. Dato che l'ennesimo tiro viene stabilito dal lancio della moneta, la probabilità richiesta è $ \frac{1}{2} $
4. Paolo effettuerà esclusivamente lanci "pari", quindi dobbiamo trovare una legge in funzione del 2n-esimo lancio, ovvero $ \left(\frac{1}{5}\right)^n\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\cdot\left(\frac{3}{4}\right) $; per esempio la probabilità che vinca al $ 10 $ lancio, sarà dunque $ \left(\frac{1}{5}\right)^5\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right) $ $ =\frac{3}{3200000} $