OliForum Matematico

Provare che 6*(6a² + 3b² + c²) = 5n²
<BR>
<BR>non ha soluzioni intere (tranne a=b=c=n=0)
<BR>
<BR>Bye

Discesa infinita? Così a occhio..

6*(6a² + 3b² + c²) = 5n²
<BR>n=6k ===> 6a^2+3b^2+c^2=30k^2 (1)
<BR>b e c devono avere la stessa parità, altrimenti il primo membro è dispari
<BR>mod 3 si ha c^2==0
<BR>quindi c=3m (e quindi anche b è dispari)
<BR>2a^2+b^2+3m^2=10k^2
<BR>sempre mod 3 deve essere 2a^2+b^2==10k^2==k^2
<BR>l\'unico residuo qudratico mod 3 è 1
<BR>affinchè sia verificata la congruenza, si deve avere
<BR>-a==b==k==0 mod 3, e in questo caso si srriva a un\'equazione della forma (1), e iterando il ragionamento, a,b,k dovrebbero essere infinitamente divisibili per tre, quindi sono uguali a 0 (quindi anche m lo è)
<BR>-a==0,b==1,k==1 mod 3 ma non è possibile perchè b è dispari
<BR>-a==1,b==1,k==0 mod 3 idem come prima
<BR>cvd
<BR>bye
<BR>p.s:errori probabili

scusa, ma non può essere che a^2==b^2==1 mod 3 e k^2==0 mod3?

sì in effetti lì ho fatto un po\' di casino <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>ora dovrebbe essere a posto:
<BR>arrivati a 2a^2+b^2+3m^2=10k^2 (1)
<BR>analizzando mod 4 si deve avere (considerando che a^2==0 se a è pari o ==1 se a è dispari)
<BR>-a^2==b^2==m^2==k^2==0, nel qual caso semplificando si ritorna alla stessa equazione, e la disecesa infinita continua a funzionare
<BR>-a^2==k^2==1, b^2==m^2==0
<BR>ponendo a=2p+1, k=2j+1, b=2d, m=2q
<BR>svolgendo i quadrati e semplificando si arriva a
<BR>2(p^2+p)+d^2+3q^2=2(j^2+j) che è analoga alla (1) mod 4, quindi anche in questo caso si torna indietro con la differenza che (p^2+p) e (j^2+j) non possono essere dispari (ovvio)
<BR>-a^2==k^2==0, b^2==m^2==1
<BR>ponendo a=2p, k=2j, b=2d+1, m=2q+1 svolgendo i calcoli si arriva a
<BR>2p^2+(d^2+d)+3(q^2+q)+1=2j^2
<BR>che è falso perchè il primo mombro è dispari, e il secondo pari
<BR>quindi in un modo o nell\'altro a,b,c,n sono infinitamente divisibili x quattro, e quindi nulli
<BR>...so ke è pesantuccia (sempre ke adesso sia tutto a posto), se qualcuno trova qualcosa di meglio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>bye