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Nel piano cartesiano indichiamo con $ \mathbb Q^2 $ l'insieme dei punti $ (x,y) $ con coordinate razionali.

Esiste un triangolo equilatero con vertici in $ \mathbb Q^2 $ ?

Mi è piaciuto, comunque, non esistono triangoli di questo tipo. Suppongo per assurdo che esista un triangolo siffatto. Suppongo WLOG che uno dei vertici sia nell'origine (solo per snellirmi i conti lo faccio) P=(0.0). Gli altri due avranno coordinate $ Q=(a,b) $ e $ R=(c,d) $ dove a, b, c, d sono ovviamente razionali. Ora considero il rettangolo formato dai vertici $ P=(0,0) \ ; \ S=(0,b) \ ; \ T=(c,b) \ ; U=(c,0) $. Allora avrò che: $ (PQR)=(PSTU)-(PSQ)-(QTR)-(RUP) $ dove con (...) indico l'area. Quindi:
$ (PQR)=bc-[\frac{ab}{2}+\frac{(c-a)(b-d)}{2}+\frac{cd}{2}]=\frac{bc-ad}{2} $ da cui segue che (PQR) è razionale.
Se PQR ha lato x, allora ho che $ (PQR)=\frac{x^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = q $ con $ q \in \mathbb{Q} $ da cui $ x^2=\frac{4q}{\sqrt{3}} $ da cui x irrazionale, ma $ x^2=a^2+b^2 $ per Pitagora, che è razionale perché a, b sono razionali. Ho ottenuto assurdo, quindi non esistono triangoli siffatti.

Karl Zsigmondy ha scritto:[...] da cui segue che (PQR) è razionale. [...]

bastava dire "pick"

ma_go ha scritto:

Karl Zsigmondy ha scritto:[...] da cui segue che (PQR) è razionale. [...]

bastava dire "pick"

Wow! Avrei usato Pick per la prima volta nella mia vita!

ma_go ha scritto: bastava dire "pick"

oppure utilizzare la formula matriciosa sull'area di un triangolo a coordinate note in un piano cartesiano

Bene Karl, effettivamente anche io l'avevo pensato con Pick.

Rilancio per il quale serve qualche idea in più: Quali poligoni regolari possono avere tutti i vertici in $ \mathbb Q^2 $