OliForum Matematico

Dimostrare che esiste una sequenza infinita di naturali $ {a_n} $ tali che per ogni naturale $ k\ge0 $ la sequenza $ {k+a_n} $ contiene solo un numero finito di primi.


@Sonner: stavo mangiando mentre la spiegavi a Lorenzo e non ho capito come l'avevi fatta ^_^

Definisco $ \displaystyle a_n={n!} $. Si noti che per ogni $ k $ la sequenza $ a_n+k $ è definitivamente divisibile per $ k $ (basta scegliere $ n\ge k $) da cui la tesi.

ndp15 ha scritto:Definisco $ \displaystyle a_n={n!} $. Si noti che per ogni $ k $ la sequenza $ a_n+k $ è definitivamente divisibile per $ k $ (basta scegliere $ n\ge k $) da cui la tesi.

E $k=1$?

dario2994 ha scritto:

ndp15 ha scritto:Definisco $ \displaystyle a_n={n!} $. Si noti che per ogni $ k $ la sequenza $ a_n+k $ è definitivamente divisibile per $ k $ (basta scegliere $ n\ge k $) da cui la tesi.

E $k=1$?

Quella è una banale congettura aperta che lascio come esercizio al lettore ( )
Ok ci ripenso che forse è meglio.

ndp15 ha scritto:Ok ci ripenso che forse è meglio.

Bon $ \displaystyle a_n=n!+2 $ mi sembra non abbia più problemi.

E se $k$ può essere un intero qualunque?

Visto che nessuno risponde mi permetto ancora di farlo io: $ \displaystyle a_n=(n!)^3 $. Se $ k=0 $ la tesi è ovvia, se $ |k| \neq 1 $ la successione sarà definitivamente divisibile per $ k $, se $ |k|=1 $ ogni elemento della successione si fattorizza in somma o differenza di cubi e, modulo casi piccoli, sarà divisibile per naturali maggiori di $ 1 $.