OliForum Matematico

In un triangolo $ \triangle ABC $ siano $ A_1 $ e $ B_1 $ i piedi delle altezze condotte rispettivamente da $ A $ e da $ B $; sia inoltre $ M $ il punto medio di $ AB $.
a) Dimostra che $ MA_1 $ è tangente alla circonferenza circoscritta ad $ \triangle A_1B_1C $.
b) Dimostra che le circonferenze circoscritte a $ \triangle A_1B_1C $, $ \triangle AMB_1 $, $ \triangle MBA_1 $ si intersecano in un punto.

Cos'è $C_1$ ? Il piede dell'altezza da C? Oppure C stesso?

Scusa, mi è scappato un pedice di troppo era semplicemente C.

Intanto metto il punto a
a) La tesi equivale al fatto che $ MA_1B_1=A_1CB_1=\gamma $. Ora, detto N il punto medio di BC, ho che $ MA_1B_1=MNB_1 $ perché angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso arco (crf di Feuerbach), ma dato che MN è parallelo ad AC ho che $ MNB_1=NB_1C $. Quindi la tesi equivale al fatto che $ NB_1C=NCB_1 $, ovvero che il triangolo $ NB_1C $ è isoscele in N. Si ha che $ CB_1=a\cdot cos\gamma \ ; \ CN=\frac{a}{2} $ e dal teorema di Carnot ottengo che $ B_1N=\frac{a}{2} $ quindi il triangolo $ NB_1C $ è isoscele in N da cui segue la tesi.

Si! ora arriva la parte più difficile, che neanch'io sono riuscito a fare.. qualcuno ha qualche idea?

In realtà la parte b) sembrerebbe essere, ad un'occhiata attenta, più semplice della a). Si può parlare di un risultato più generale:

$ \textbf{Teorema di Miquel} $: In un triangolo $ABC$ siano $A_1$, $B_1$ e $C_1$ tre punti sui lati $BC$, $AC$ e $AB$. Allora le circonferenze $AB_1C_1$, $BA_1C_1$ e $CA_1B_1$ si intersecano in un punto.

Provate a dimostrare questo fatto più generale, da cui discende la tesi del punto b).

bĕlcōlŏn ha scritto:In realtà la parte b) sembrerebbe essere, ad un'occhiata attenta, più semplice della a). Si può parlare di un risultato più generale:

$ \textbf{Teorema di Miquel} $: In un triangolo $ABC$ siano $A_1$, $B_1$ e $C_1$ tre punti sui lati $BC$, $AC$ e $AB$. Allora le circonferenze $AB_1C_1$, $BA_1C_1$ e $CA_1B_1$ si intersecano in un punto.

Provate a dimostrare questo fatto più generale, da cui discende la tesi del punto b).

Ah, giusto... vabbé, si fa per angoli, angle-chasing facile. Ok!