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Tutti e soli gli $n=p^5$ ed $n=p\cdot q^2$

Fattorizzo: $ \displaystyle n=\prod {{p_i}^{q_i}} $; sia $ P $ il prodotto dei divisori di $ n $ e $ k $ il numero di questi, quindi $ k=(q_1 +1)(q_2 +1) \dots (q_z +1) $.
Ragiono su quante volte compare un generico $ p_i $ in $ P $: penso la serie dei divisori senza $ p_i $, sarebbero $ \displaystyle \frac{k}{q_i +1} $; se lo ''aggiungo'' è banale che $ p_i $ comparirà $ \displaystyle \frac{k}{q_i +1} $ volte per $ q_i =1 $. Se $ q_i=2 $ in modo analogo possiamo dire che $ p_i $ compare $ \displaystyle \frac{k}{q_i +1} + 2 \frac{k}{q_i +1} $ volte.
Perciò per $ q_i $ generico compare $ \displaystyle \frac{k}{q_i +1} + 2 \frac{k}{q_i +1} + \dots + q_i \frac{P}{q_i +1} = \frac{k}{q_i +1} \frac{{q_i}(q_i +1)}{2}=\frac{k q_i}{2} $. Ora affinché $ P=n^3 $ dev'essere $ \displaystyle \frac{k q_i}{2}=3 $ per ogni $ i $ $ \Rightarrow $ $ k=6 $..
E qui il resto è già scritto