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Trovare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ tali che:
$ f(f^2(x)+y)=x^2+f(y) $
per ogni coppia di reali $ x,y. $

Suppongo che $ f(0)\ne 0 $. Ponendo x=0 la funzionale diventa $ f(y+f(0)^2)=f(y) $, cioè è periodica. Ma mettendo y=0 si ottiene che $ f(f(x)^2)=x^2 +f(0) $, che implica che ogni valore può essere assunto al più 2 volte, e dunque la funzione non può essere periodica.
Adesso, sapendo che $ f(0)=0 $, metto y=0, ottenendo $ f(f(x)^2)=x^2 $, cioè la funzione è surgettiva per valori non negativi. Quindi ogni x non negativo si può scrivere come $ f(\mathbb{R}) $ e dunque anche come $ f(\mathbb{R})^2 $. Mettendo nella funzionale x al posto di $ f(x)^2 $ si ottiene una Cauchy, che vale per ogni coppia di reali (x, y) con x positivo. Ma se nella funzionale metto $ y=-f(x)^2 $ viene fuori $ f(-f(x)^2)=-x^2=-f(f(x)^2) $ ovvero, dato che ogni non negativo lo posso scrivere come $ f(\mathbb{R})^2 $, la funzione è dispari e la Cauchy vale per ogni coppia di reali. Per x positivi f è positiva, dunque c'è un buco enorme sotto l'asse delle ascisse e la soluzione è della forma f(x)=kx. Sostituendo viene k=1, quindi $ f(x)=x $ per ogni x. $ \square $