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i) Dimostrare che per ogni $ n>6 $ se $ n-1 $ e $ n+1 $ sono primi allora $ 720|n^2(n^2+16) $
ii) Stabilire se è vero il teorema inverso di i)

Siccome $ n+1 $ ed $ n-1 $ sono primi allora $ n $ è pari. Quindi $ n^2 $ è multiplo di 4, $ n^2+16 $ anche. Quindi il prodotto è multiplo di $ 2^4 $.

n può essere congruo a 0 a 2 o a 3 modulo 5. (se fosse congruo a 1, 5 dividerebbe n-1 e se fosse congruo a 4, 5 dividerebbe n+1).
Se n è congruo a 0 mod 5 abbiamo $ n^2 $ multiplo di 5. Se n è congruo a 2 o 3 abbiamo $ n^2 $ congruo a 4 quindi $ n^2+16 $ è multiplo di 5.

Infine n è necessariamente multiplo di 3 (se non lo fosso uno tra n+1 ed n-1 sarebbe multiplo di 3). Quindi $ n^2 $ è multiplo di 9.

Quel prodotto contiene quindi i fattori $ 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 $

zeitgeist505 ha scritto:i) Dimostrare che per ogni $ n>6 $ se $ n-1 $ e $ n+1 $ sono primi allora $ 720|n^2(n^2+16) $
ii) Stabilire se è vero il teorema inverso di i)

Per $n=8$ abbiamo $\text{gcd}(n-1,n+1)=1$ ma $3 \nmid 8^4+16\cdot 8^2$..

n+1 ed n-1 sono proprio primi (oltre che coprimi).

xXStephXx ha scritto:Siccome $ n+1 $ ed $ n-1 $ sono primi allora $ n $ è pari. Quindi $ n^2 $ è multiplo di 4, $ n^2+16 $ anche. Quindi il prodotto è multiplo di $ 2^4 $.

n può essere congruo a 0 a 2 o a 3 modulo 5. (se fosse congruo a 1, 5 dividerebbe n-1 e se fosse congruo a 4, 5 dividerebbe n+1).
Se n è congruo a 0 mod 5 abbiamo $ n^2 $ multiplo di 5. Se n è congruo a 2 o 3 abbiamo $ n^2 $ congruo a 4 quindi $ n^2+16 $ è multiplo di 5.

Infine n è necessariamente multiplo di 3 (se non lo fosso uno tra n+1 ed n-1 sarebbe multiplo di 3). Quindi $ n^2 $ è multiplo di 9.

Quel prodotto contiene quindi i fattori $ 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 $

E ora ii)

L'inverso è falso.. Ad esempio con $ n=90 $ 720 divide quel numero e 91 non è primo.