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Due circonferenze $\gamma_1$ e $\gamma_2$ si intersecano in $M$ e $N$. La tangente comune più vicina a $M$ tange $\gamma_1$ in $A$ e $\gamma_2$ in $B$. Siano $C$ e $D$ i simmetrici di $A$ e $B$ rispetto a $M$. La circonferenza circoscritta a $DCM$ interseca le circonferenza $\gamma_1$ e $\gamma_2$ in $E$ e $F$ rispettivamente.
Dimostra che i raggi delle circonferenze circoscritte a $MEF$ e $NEF$ sono congruenti.

Siano $ A' $ e $ B' $ i punti di tangenza con $ \gamma_1 $ e $ \gamma_2 $ della tangente comune più vicina a $ N $.
LEMMA: I simmetrici di $ A' $ e $ B' $ rispetto a $ M $ sono sulla circonferenza circoscritta a $ ABM $.
DIMOSTRAZIONE: Sia $ X $ l'intersezione tra $ A'A $ e $ B'M $. Chiaramente $ A'A \parallel NM $, da cui $ \angle A'XB'=\angle NMB' $. Per simmetria rispetto alla retta dei centri $ \angle NMB'=\angle BNM $, e inoltre $ \angle BNM=\angle ABM $. Quindi $ \angle AXM= \angle A'XB'= \angle ABM $, da cui si deduce che $ X $ è sulla circonferenza circoscritta a $ ABM $. Per concludere basta notare che l'asse radicale $ NM $ biseca $ A'B' $ (fatto noto oltre che facilmente dimostrabile), quindi per talete $ M $ è il punto medio di $ A'X $: quindi il simmetrico di $ A' $ rispetto a $ M $ sta sulla circonferenza $ ABM $. Lo stesso discorso vale per $ B' $. Lemma dimostrato.
Notiamo che la circonferenza circoscritta a $ DCM $ è la simmetrica rispetto a $ M $ di quella circoscritta ad $ ABM $, quindi per il lemma le intersezioni $ C $, $ D $ di tale circonferenza con $ \gamma_1 $ e $ \gamma_2 $ sono proprio $ A' $ e $ B' $. Chiaramente la circonferenza per $ A'B'N $ è congruente a quella per $ ABM $, che è la simmetrica della circonferenza $ DCM $.
In bocca al lupo per le preImo!