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Dimostrare che il prodotto di quattro interi (non negativi) consecutivi non puo' essere uguale al prodotto di altri due interi (non negativi) consecutivi

Forse volevi dire proprio positivi?

$0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 0 \cdot 1$

Il_Russo ha scritto:Forse volevi dire proprio positivi?

$0 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 0 \cdot 1$

Si ,con lo zero è troppo facile

Allora se esiste $ n=x(x+1)(x+2)(x+3)=k(k+1) $, si deve avere $ k=\left\lfloor \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)}\right\rfloor $, sostituendo si ha $ x(x+1)(x+2)(x+3)=x(x+1)(x+2)(x+3)+\left\lfloor \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)}\right\rfloor $ che è impossibile.

Provo a giustificare il fatto che $ k=\left\lfloor \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)}\right\rfloor $. Ovviamente $ k^2<k(k+1) $ e $ k \in \mathbb{N} $, $ k $ deve essere il numero immediatamente inferiore alla radice, in modo tale che il prodotto $ k(k+1) $ si avvicini al massimo ad $ n $.

Molto più semplice: $ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=k(k+1)+1 $, $ LHS $ è un quadrato perfetto! quindi $ (n^2+3n+1)^2=k^2+k+1 $
$ RHS $ giace tra due quadrati consecutivi : $ k^2< k^2+k+1< (k+1)^2 $ , quindi non è mai un quadrato perfetto.

Poniamo che esistono $x,y \in \mathbb{Z}$ tali che $x,y>1$ tali che $(x-1)\cdot x \cdot (x+1)(x+2)=y(y-1)$; allora $x^2(x+1)^2>(x^2-1)(x^2+2x)=y^2-y>(y-1)^2 \implies y<x^2+x+1$ e anche $y^2>y^2-y=x(x-1)(x+1)(x+2)=(x^2+x)(x^2+x-2)>(x^2+x-2)^2 \implies y>x^2+x-2$. Quindi $x^2+x-2<y<x^2+x+1$. Se $y=x^2+x$ allora $x^2+x-1=y-1=(x-1)(x+2)$, assurdo. Altrimenti $y=x^2+x-1$, per cui $(x-1)(x+2)=x^2+x-2=y-1$ ma dovrebbe essere $y=x(x+1)$, assurdo.[]