OliForum Matematico

Se $ a $ è un numero reale tale che $ a^5-a^3+a=2 $, dimostra che $ 3<a^6<4 $.

Rilancio/hint

Domanda da niubbo, e un po' OT... sbattendoci un po' il grugno, e facendo un po' di tentativi, sono arrivato a fattorizzare il polinomio di partenza in:

$ (a^{2}-a+1)(a^{3}+a^{2}-a-2) $

C'è un modo, a parte supporre - come ho fatto io - che ci sia un qualche fattore "irriducibile" tipo:
$ (a^{2}-a+1) $

per arrivare ad una qualche scomposizione laddove Ruffini fallisca?

In $\mathbb R$ quel polinomio è irriducibile: si vede semplicemente dal fatto che non ha radici reali e dunque per ruffini non può essere scomposto in fattori di primo grado a coefficienti reali

Drago96 ha scritto:In $\mathbb R$ quel polinomio è irriducibile: si vede semplicemente dal fatto che non ha radici reali e dunque per ruffini non può essere scomposto in fattori di primo grado a coefficienti reali

e fin là ci arrivavo anch'io che Ruffini fallisce. Sul fatto che non abbia almeno una radice reale, non sono d'accordo (anzi ce n'è certamente una compresa tra 1 e 2). Io intendevo proprio, che tecniche abbiamo per scomporre in termini p(x), q(x) con grado > 1 ? Ripeto, sono andato a sentimento per trovare:
$ p(x) = x^{2} - x +1 $
c'è un modo un po' più "scientifico" ?

Ok, allora avevo frainteso la domanda... (pensavo che intendessi che $a^2-a+1$ fosse irriducibile)

Mi pare (e ne sono quasi sicuro) che ogni polinomio si possa fattorizzare in polinomi di primo o secondo grado
Purtroppo non sono a conoscenza, anche se forse esiste, di un metodo come dici tu "scientifico" per trovare i fattori...

Drago96 ha scritto: Mi pare (e ne sono quasi sicuro) che ogni polinomio si possa fattorizzare in polinomi di primo o secondo grado

Intendi a coefficienti reali?

Cmq per il polinomio di partenza inizia dimostrando che non ha radici razionali.. Poi se vuoi scomporre in polinomi dal grado maggiore di uno in questo caso puoi provare solo una cosa: ovvero un polinomio di grado 2 per un polinomio di grado 3.. Scrivi le equazioni generali dei polinomi di grado 2 e 3 e uguagliando i coefficienti trovi ciò che cerchi

$ (ax^3 + bx^2 + cx + 2)(dx^2 + fx + 1) $ <<- per la verità dovresti provare anche altri casi (infatti il termine noto 2 non è detto che sia al polinomio di grado 3, o può comparivi col segno meno, ecc.) però per gradi non troppo alti secondo me funziona bene..

Poi sono molto utili le radici complesse dell'unità in queste cose, in un post precedente avevo chiesto spiegazioni ma purtroppo subito dopo hanno "attaccato" il forum e cancellato qualche post random fra cui molti dil quella discussione..