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Mostrare che esiste almeno un quadrato perfetto nell'intervallo $ [n,2n+1] $ per ogni $ n>1 $

Se non esistesse nemmeno un quadrato in quell'intervallo si avrebbe, per qualche $x$ naturale,
$(1) \ \ x^2<n$ e $(2) \ \ (x+1)^2>2n+1$
$(3) \ \ (1)+(2)\rightarrow 2x>n$
$(4) \ \ (1)+(3)\rightarrow x<2\rightarrow x\leq1$
$(5) \ \ (2)+(4)\rightarrow 4\geq(x+1)^2>2n+1\rightarrow n<2$
Ma $(5)$ è in contrasto con l'ipotesi iniziale $n>1$

$(\lfloor \sqrt{n-1} \rfloor +1)^2 \le (n-1)+2\sqrt{n-1}+1 < n+\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1} < n+ 2 \sqrt{n}\le n+n+1= 2n+1$ .[]

La prima perchè $\lfloor \sqrt{ n-1} \rfloor \le \sqrt{n-1}$, la seconda e' una maggiorazione, la terza e' am-qm, la quarta e' vera sse $(\sqrt{n}-1)^2 \ge 0$.

In generale, per ogni $m \in \mathbb{N}_0, k \in \mathbb{R} \cap (1,+\infty)$ esiste un intero $n_0$ tale che l'intervallo $[n, kn]$ contiene almeno $m$ quadrati, per ogni $n\ge n_0$, perchè $\lim_{x \to \infty}{\frac{(x+m)^2}{x^2}}=1$..