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Come si dimostra nel modo più elementare possibile che:

$ |a−b| ≥ ||a| − |b|| $ ?

Modo elementare intendi che non é nemmeno concesso elevare al quadrato?

No, è possibile, intendo senza utilizzare cose particolarmente complesse.

Fare tutti i casi a positivo, a-b negativo è un metodo complesso?

La dimostrazione classica è riconducendolo alla triangolare "giusta": parti da $|c+b|\leq |c|+|b|$, poni $c+b=a$, ottieni $|a| \leq |a-b|+|b|$, cioè $|a-b|\geq |a|-|b|$. Ora scambi $a$ e $b$ e ottieni $|a-b|\geq |b|-|a|$; metti insieme le due disuguaglianze e hai vinto. Questa dimostrazione ha il pregio di non usare praticamente nulla e quindi funzionare anche in contesti più generali (norme di vettori, per esempio).

Altra dimostrazione elementare che riconduce alla triangolare è

$ ||a-b+b| - |b|| \le ||a-b|+|b|-|b|| $ in virtù della triangolare e quindi $ ||a|-|b|| \le |a-b| $