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Determinare tutte le soluzioni in $ \mathbb{Z} $ del sistema:

(1) $ m^3-3mnq=n^3+q^3 $

(2) $ m^2=2n+2q $

Se $ m=0 $ ho le soluzioni $ n+q=0 $. Da ora considero $ m \ne 0 $.

Innanzitutto noto che $ m $ è pari e pongo $ m=2k $. Così il sistema diventa:

$ \bigg \{ \begin{array}{rl} 8k^3-6knq=n^3+q^3\\ 2k^2=n+q \end{array} $

In pochi passaggi ($ 8k^3=4k(n+q) $, $ n^3+q^3=2k^2(n^2+q^2-nq)...) $ trovo che

$ k(n^2+q^2-nq)=2n+2q-3nq $.

$ (n^2+q^2-nq) $ è positivo. Se anche $ 2n+2q-3nq >0 $ (e quindi $ k>0 $), allora:

$ n^2+q^2-nq \leq 2n+2q-3nq \rightarrow (n+q)^2\leq2(n+q) \rightarrow 4k^4 \leq 4k^2 \rightarrow k=1 $

che porta alle soluzioni $ n+q=2 $.

Se invece $ 2n+2q-3nq <0 $ (e quindi $ k<0 $), ho che: $ 3nq>2(n+q)=4k^2>0 $, per cui $ n $ e $ q $ sono entrambi positivi (non possono essere entrambi negativi). Allora per avere variabili tutte positive sostituisco $ j=-k $ e vedo che la prima equazione del sistema diventa:

$ \displaystyle \sqrt[3]{2jnq}=\sqrt[3]{\frac{8j^3+n^3+q^3}{3}} $

GM=CM vale quando le variabili sono uguali, e $ 2j=n=q $ porta all'ultima soluzione ($ m $, $ n $, $ q)=(-4 $, 4, 4).

Fatica! Adesso spiegami come puoi averlo trovato facile

Allora, keep calm and prova a risolvere prima l'equazione (1), cercando tutte le soluzioni solo di quella. Ci sono anche altre soluzioni, ma non capisco dove le hai perse. leggendo la tua risposta mi sono perso nei conti, precisamente quando scrivi $ n^3+q^3=2k^2(n^2+q^2-nq)... $.

$ n^3+q^3=(n+q)(n^2+q^2-nq)=2k^2(n^2+q^2-nq) $.

Ah ok
le soluzioni sono tutte, le avevo perse al primo rigo quando hai scritto $ m=0 $ e $ n+q=0 $, io avevo letto $ n=q=0 $... che stupidino
Io ho scritto che il sistema è facile perchè il metodo risolutivo che ho usato è davvero "facile", quasi banale direi.

Scrivo la soluzione che ho trovato io:
provo a trovare prima le soluzioni dell'equazione (1)

Mi accorgo subito che se $ m=n+q $ l'equazione è sempre verificata (basta sviluppare il cubo del binomio e si nota che si semplifica tutto). Tengo a mente la terna $ (n+q,n,q) $ (A)

Controllo se esistono soluzioni con $ m\ne \ n+q $; assumo $ m=n+q+k $

La (1) diventa: $ (n+q+k)^3 -3nq(n+q+k) - n^3 -q^3=0 $

Sviluppando ottengo un equazione di terzo grado in k: $ k^3+k^2(3n+3q)+k(3n^2+3q^2+3nq)=0 $; una soluzione banale è k=0, che però non mi dà valori di $ m\ne \ n+q $. Posso dividere per k dato che ho già scartato la soluzione k=0, e ottengo un secondo grado con il $ \Delta=-3(n-q)^2 $:

-se $ n \ne \ q $ abbiamo che $ \Delta < 0 $ quindi l'equazione in k non ha altre radici reali

-se $ n=q=\alpha $ abbiamo che $ \Delta = 0 $ quindi esistono due radici reali e coincidenti per l'equazione. Facendo i calcoli esse valgono $ -3\alpha $. Quindi$ m=\alpha+\alpha-3\alpha=-\alpha $ $ \vee $ $ n=q=\alpha $ (B) sono soluzioni di (1)

Ora sostituisco le due soluzioni di (1) nell'equazione (2)

La soluzione (A) mi dice che
$ (n+q)^2=2(n+q) $
$ (n+q)(n+q-2)=0 $ --> e mi porta alle soluzioni $ (m=0, n+q=0) \vee (m=2, n+q=2) $

Sostituendo (B) ottengo
$ (-\alpha)^2=4\alpha $---> e mi porta alle soluzioni $ \alpha=0 $(che già abbiamo trovato con (A)) e $ \alpha=4 $ che mi porta all'ultima soluzione $ (-4,4,4) $

ok

Molto più semplicemente: dalla prima $ m^2 \geq 3nq $ e adesso è finita...

Edit: Osti chiedeva in tutto Z, scusate Avevo già visto lo stesso problema che però chiedeva nei positivi, devo imparare a leggere bene le consegne XD

In effetti mi era stato proposto nei naturali, ma avendo trovato tutte le soluzioni relative perchè non condividerle con il forum?!?