Drago96 ha scritto:Up!
Questo ha una dimostrazione piuttosto bella!
Ultimamente poca gente posta le dimostrazioni, e i pochi che le risolvono evitano di postarle..
Questa e' la prima cosa che mi viene in mente, magari c'è una bella soluzione geometrica che all'una e mezza di notte non mi viene proprio voglia di cercare..
E' sufficiente dimostrare che il sistema di equazioni non ha alcuna soluzione in $\mathbb{Z}^6$:
i) $\text{gcd}(a,b,c,d,e,f)=1$
ii) $a-b-c=d-e-f=0$
iii) $a^2+e^2=b^2+d^2=c^2+f^2$
Se $2 \mid \text{gcd}(a,e)$ allora $4\mid a^2+e^2$ e percio' $2 \mid \text{gcd}(a,b,c,d,e,f)$, che contraddice la i).
Se $2 \mid a$ e $2 \nmid e$ (o vicerversa) allora $a^2+e^2\equiv b^2+d^2\equiv c^2+f^2\equiv 1\pmod 4$ per cui $0=(a-b-c)+(d-e-f)\equiv (a^2+e^2)+(b^2+d^2)+(c^2+f^2)\equiv 1 \pmod 2$, che e' assurdo ancora.
Resta il caso che $2\nmid abcdef$, ma saremmo in contraddizione con la ii) dal momento che $a=b+c \pmod 2$. []