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Si tira un dado (da 6 facce). Se esce "1" o "2" si tira una moneta. Se esce "3" si tirano due monete. Per altre uscite si tirano tre monete. Se sul tavolo nessuna moneta indica "croce"; quali sono le probabilità che sul dado diano usciti "1" 0 "2" ?

Lo trovato sulla rivista Rudi Mathematici (Cercatela su internet, è davvero bella!) e mi sembrava carino

Si assuma per ipotesi che non sia mai uscito croce e distinguo 3 casi:

1) si è tirata una moneta $ \Longleftrightarrow $ sul dado è uscito 1 o 2

2) si sono tirate due monete $ \Longleftrightarrow $ sul dado è uscito 3

3) si sono tirate tre monete $ \Longleftrightarrow $ sul dado è uscito 4,5 o 6


Il caso (1) può verificarsi con 2 facce del dado e ha probabilità $ \frac {1}{2} $ di essersi avverato

Il caso (2) può verificarsi con 1 faccia e ha probabilità $ \left( \frac{1}{2} \right)^2 $ di essersi avverato

Il caso (3) può verificarsi con 3 facce e ha probabilità $ \left(\frac{1}{2}\right)^3 $ di essersi avverato

quindi, chiamata $ p_n $ la probabilità che si sia verificato il caso $ n $, abbiamo che la probabilità che sia uscito 1 o 2 è $ \;\displaystyle \frac{p_1}{p_1+p_2+p_3} $

Sostituendo i valori ottengo $ \;\displaystyle \frac{\frac{1}{2}2}{\frac{1}{2}2+\frac{1}{4}1+\frac{1}{8}3}\;=\;\frac{1}{1+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}}\;=\;\frac{8}{13} $

Bravo