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Come posso dimostrare che, definita una funzione nei naturali, se $ n=f(n) $ allora $ f(n)=f(f(n)) $. E questa uguaglianza è legata a qualche caratteristica della funzione, tipo se è iniettiva, suriettiva, monotona o cose del genere? Grazie mille

sei sicuro di non voler sapere se "$\forall n: f(n) = f(f(n))$ implica $\forall n: n = f(n)$"?

la freccia che vuoi dimostrare tu è facile: per ogni $n$ naturale abbiamo $n=f(n)$. adesso prendi $m$ naturale; $f(m)$ è anche lui naturale, e quindi (sostituendo $n=f(m)$ nella tua ipotesi) ottieni che $f(m) = f(f(m))$. ma questo vale per ogni $m$ naturale: non avevamo messo nessun'altra ipotesi su $m$. ovviamente, chiamare le cose $m$ o $n$ o $pippo$ (quando sono quantificate) è irrilevante, quindi quello che vuoi dimostrare è vero.

se invece vuoi dimostrare l'altra cosa, in generale ti serve la suriettività, e ti invito a pensare perché..

ma_go ha scritto:se invece vuoi dimostrare l'altra cosa, in generale ti serve la suriettività, e ti invito a pensare perché..

Ho pensato, ma credo che sia un tentativo a vuoto..
Allora l'Hp è: $ f(x)=f(f(x)) $, perciò pongo $ f(x)=y $, ma questo va bene se e solo se, detti $ X $ e $ Y $ rispettivamente il dominio e il codominio $ \forall y \in Y \exists x \in X \mid f(x)=y $ cioè se la funzione è suriettiva, e da li $ y=f(y) $. Ma non penso sia cosi!

ma_go ha scritto:non avevamo messo nessun'altra ipotesi su $ m $

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Ci possono essere delle restrizioni? Grazie mille!!

scambret ha scritto:Allora l'Hp è: $ f(x)=f(f(x)) $, perciò pongo $ f(x)=y $, ma questo va bene se e solo se, detti $ X $ e $ Y $ rispettivamente il dominio e il codominio $ \forall y \in Y \exists x \in X \mid f(x)=y $ cioè se la funzione è suriettiva, e da li $ y=f(y) $. Ma non penso sia cosi!

è detto in modo un po' contorto, ma la sostanza è quella: puoi sempre chiamare $f(x)=y$, il punto è che ogni relazione che ricavi in quel modo funziona per tutti gli $y$ nell'immagine di $f$ (e a priori potrebbe fallire per gli $y$ fuori dall'immagine). se $f$ è suriettiva, però, tutti gli elementi di $Y$ sono della forma $f(x)$, quindi hai vinto.

scambret ha scritto:

ma_go ha scritto:non avevamo messo nessun'altra ipotesi su $ m $

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Ci possono essere delle restrizioni? Grazie mille!!

boh, magari in qualche caso più generale ci possono essere delle restrizioni strane.. ma la mia era un'affermazione di poco senso (e poco senno)..

Comunque mi serviva solo la prima! Però questa cosa potrà tornare utile