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Non riesco a capire come risolvere questa equazione diofantea:
$ n^2+n=2m^2 $ con $ n<100 $
se qualcuno ha qualche suggerimento lo ringrazio in anticipo

Credo di aver capito:
essendo $ MCD(n;n+1)=1 $ vuol dire che o $ n $ e $ \frac{n+1}{2} $ sono un quadrati perfetti o lo sono $ \frac{n}{2} $ e $ n+1 $
e per tentativi vanno bene le coppie:(1;1),(8,6) e (49,35)
giusto?

Sì

Consiglio: analizza il Delta dell'equazione risolvente e poi si tratta di risolvere l'equazione di Pell.

Consiglio: analizza il Delta dell'equazione risolvente e poi si tratta di risolvere l'equazione di Pell.

Purtroppo non riesco a capire
non sono molto esperto, quindi potresti spiegarmelo?

D'accordo. $ n^2+n-2m^2=0 $. $ n= \frac{-1\pm \sqrt{1+8m^2}}{2} $. Ora affinchè n sia intero, $ \Delta = k^2 $
$ k^2-8m^2=1 $. Questa è una cosiddetta equazione di Pell, in quanto le sue soluzioni sono infinite! Tali soluzioni sono della forma:
$ k= \frac{(3+2\sqrt2)^z+(3-2\sqrt2)^z}{2} $; $ m=\frac{(3+2\sqrt2)^z-(3-2\sqrt2)^z}{4\sqrt2} $ con $ z $ naturale.
Tutto ciò significa che i primi numeri triangolari ad essere anche quadrati perfetti sono le coppie $ (n,m) (0,0);(1,1);(8,6);(49,35);(288,204) $ ecc..

Non avevo pensato di porre $ \Delta=k^2 $
Grazie mille

LeZ ha scritto:$ k^2-8m^2=1 $. Questa è una cosiddetta equazione di Pell, in quanto le sue soluzioni sono infinite!

Guarda che non è soluzioni infinite$\rightarrow$Pell, ma Pell$\rightarrow$soluzioni infinite... E quella è una Pell perchè della forma $x^2-dy^2=1$

http://en.wikipedia.org/wiki/Square_triangular_number

Lo so lo so.. che pignoleria era solo per far capire che molto spesso questo tipo di equazioni portano a Pell e quindi a soluzioni infinite..