OliForum Matematico

L’infido Duetrecinquesettete, come le altre spie romane di alto livello, ha a disposizione un abaco portatile potentissimo che permette di fare conti difficilissimi in breve tempo. I Romani lo usano per incrementare la sicurezza dei servizi segreti: prima di aprire a qualcuno la sentinella chiede di fare operazioni molto complicate per verificare se ha l’abaco. Abelix ha messo ko Duetrecinquesettete, ma l’abaco si è rotto. Il Gallo sperimenta allora un elisir dell’intelligenza e cerca di intrufolarsi.

“Chi va là!” bisbiglia la sentinella.
“So’ Duetrecinquesettete” risponde Abelix con improbabile accento latino.
“Dimmi allora: se x è l'unica soluzione reale positiva di $ x^2−29x−10=0 $, quanto vale $ x^{2011} $?” domanda la sentinella.
Abelix pronto risponde “È un numero troppo grande per dirlo a voce e nun è nemmeno intero!”.
La sentinella non si fa sorprendere e replica “Allora prendi la parte intera e poi dimmi le ultime due cifre del numero che ottieni. Sarà meglio per te che non ti sbagli!”

Cosa deve rispondere Abelix alla sentinella?

Viene dalla gara a squadre, ma non sono riuscito a farlo.

non capisco se chiede $ \lfloor x \rfloor ^{2011} $ oppure $ \lfloor x^{2011} \rfloor $

Per comodità chiamo $ x_1 , x_2 $ le due radici.
La cosa interessante da notare è che una delle due radici $ -1<x_2<0 $. Ciò significa che $ {x_1}^{2011}+{x_2}^{2011} $ è circa $ {x_1}^{2011} $, in quanto $ {x_2}^{2011} $ non altera le ultime due cifre della parte intera.
Detto questo, il resto è puro calcolo algebrico. Praticamente devo trovare le ultime due cifre di $ {x_1}^{2011}+{x_2}^{2011}. $
$ x_1+x_2=29; x_1\cdot{x_2}=-10; {x_1}^2+{x_2}^2=861; $
$ {x_1}^3+{x_2}^3=(x_1+x_2)\cdot{({x_1}^2+{x_2}^2)}-{x_1}^2\cdot{x_2}-x_1\cdot{x_2}^2 = (x_1+x_2)\cdot{({x_1}^2+{x_2}^2)}-x_1\cdot{x_2}{(x_1+x_2)} = 25259 $
Lavoriamo ora con $ {x_1}^{5}+{x_2}^{5} $, in quanto ci occorre la ricorrenza delle potenze dispari. Ma la cosa furba da notare è che se svolgiamo come prima il prodotto $ ({x_1}^3+{x_2}^3)\cdot{({x_1}^2+{x_2}^2)}-{x_1}^2\cdot{x_2}^2(x_1+x_2) $, la differenza finale non mi altera le due cifre finali richieste in quanto il termine noto dell'equazione di partenza è $ -10 $ che elevato alla seconda non influisce minimamente. Di conseguenza $ {x_1}^{5}+{x_2}^{5}=59\cdot61 =99 $
$ {x_1}^{7}+{x_2}^{7} $=$ 99\cdot61=39; {x_1}^{9}+{x_2}^{9}=79; {x_1}^{11}+{x_2}^{11}=19; {x_1}^{13}+{x_2}^{13}=59 $. La sequenza è quindi $ 59,99,39,79,19,59 $ ecc.. La sequenza può infine essere vista modulo $ 10 $, $ 2011\equiv 11 mod 10 $, da cui $ 19 $ è soluzione.

P.s mi scuso per eventuali errori di scrittura LaTeX ma non mi funzionava l'anteprima -.-

Secondo me ti manca un $-1$: se $x_2$ è piccolo ma negativo, allora $x_2^{2011}$ altera sì la parte intera...

Non in questo caso perchè le potenze sono dispari. Se fossero pari, $ x_2^{2n} $ diventerebbe positivo e in quel caso cambierebbe la parte intera.

Hmm, sì, sorry, riguardando i segni hai ragione tu.