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Criteri divisibilità con 41
Inviato: 29 giu 2012, 20:33
da LeZ
a) dire per quali $ n $ naturali, $ 41|4\cdot{10}^{n}+1 $
b) dire per quali $ n $ naturali, $ 41|10^n+4 $
Re: Criteri divisibilità con 41
Inviato: 29 giu 2012, 21:54
da nic.h.97
nel punto b , devi trovare le potenze di 10 congrue a 37 modulo 41.
ho notato che $ 10^0 e 10^5 $ sono congrue a 1 modulo 41,gli esponenti multipli di 5 sono tutti congrui a 1 mod 41 , allora ho pensato che in mezzo c'erano 4 valori che si ripetevano e ho scoperto che gli n devono essere multipli di 5 diminuiti di 1 , quindi $ 10^4 $ ,$ 10^9 $ , ....
comunque è meglio aspettare qualcuno che dia una spiegazione piu' accettabile

Re: Criteri divisibilità con 41
Inviato: 29 giu 2012, 21:58
da Hawk
Faccio il primo,
$ 4\cdot{10}^{n}+1 \equiv 4\cdot{10}^{n}-40 \equiv 40(10^{n-1}-1) \equiv 0 \pmod{41} $, adesso poichè si deve avere che $ ord_{41}(10)|40 $ si trova facilmente che $ n-1=5k $ da cui $ n=5k+1 $.
Re: Criteri divisibilità con 41
Inviato: 29 giu 2012, 22:05
da nic.h.97
e nel punto a devi trovare le potenze di 10 congrue a 10 mod 41
Re: Criteri divisibilità con 41
Inviato: 29 giu 2012, 22:19
da LeZ
Esattamente, basta trovare $ ord_{41}(10) $, il punto b è identico

Re: Criteri divisibilità con 41
Inviato: 29 giu 2012, 22:45
da xXStephXx
Che poi una volta fatto il punto a) si ha che:
$41| 10^{n-1}-1 \Longrightarrow 41|10^{n-1}+40 \Longrightarrow 41| 10^{n-2}+4$
Inoltre:
$41| 10^{n-2}+4 \Longrightarrow 41| 10^{n-1}+40 \Longrightarrow 41 | 10^{n-1}-1$
Quindi $41| 10^{n-1}-1 \Longleftrightarrow 41|10^{n-2}+4$
Ma forse per solo 5 casi non ne valeva la pena
