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Dimostrare che è impossibile che si verifichino contemporaneamente (1) (2) (3)

(1) $ \displaystyle a(1-b)>\frac{1}{4} $

(2) $ \displaystyle b(1-c)>\frac{1}{4} $

(3) $ \displaystyle c(1-a)>\frac{1}{4} $


dove $ a,b,c $ $ \in [0,1] $ (sono ovviamente reali)

Se tutte e 3 le condizioni fossero vere necessariamente moltiplicando tutti gli $LHS$ si ottiene un valore maggiore a $\displaystyle \frac{1}{64}$
Ma così non accade..

Il prodotto degli $LHS$ è
$a(1-a)b(1-b)c(1-c)$
Per AM-GM ottengo:
$a(1-a)b(1-1)c(1-c) \leq (\frac{a+1-a+b+1-b+c+1-c}{6})^6$
$a(1-a)b(1-b)c(1-c) \leq \frac{1}{64}$. Assurdo..