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in una videolezione di M.gobbino , sulle equazioni diofantee con una equazione del tipo:

$ a= {b+3 \over 2b+1} $ e quindi
$ a= {1 \over 2}(1+{5 \over 2b+1}) $
in questo modo cerca b in modo che 2b+1 sia divisore di 5 .
ovvero 2b+1 puo' essere 1 o 5 (positivi e negativi), in questo modo dovrei avere $ A $ intero, ma pero' c'è quel $ {1 \over 2} $che moltiplica $ (1+{5 \over 2b+1}) $
e quindi non è sicuro che avro' $ a $ intero , ma in questo caso si' qualunque sia $ B $ . Ma in altri casi accade la stessa cosa oppure ci sono casi particolari? perchè nel video non lo specifica

Puoi essere sicuro che a ė intero perchè la parentesi è pari (è la somma di due numeri dispari ); quindi c'è sicuramente almeno un fattore 2 e quindi a è intero

Questo se ho capito bene la domanda

e se dovessi dimostrare che $ {21n+4 \over 14n+3} $ è irriducibile per ogni naturale $ n $, allora
$ {3 \over 2}({42n+8 \over 42n+9}) $ e quindi

$ {3 \over 2}(1-{1 \over 42n+9}) $

42n+9 dev'essere o 1 positivo o negativo per essere divisore del suo numeratore ,
quindi $ n $ dovra' per forza assumere valori reali affinchè $ {21n+4 \over 14n+3} $ ria riducibile e poi 1-1= 0 . e i 3/2 di 0 = 0
. è sufficiente questo per dimostrare cio' oppure no?

Si ti basta dire che $ 42n +9 = \pm 1 $ non ha soluzioni per $ n \in N $