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i) Siano $ a,b,c $ numeri reali tali che $ a + b + c = 0 $, provare che
$ a^3+ b^3+ c^3> 0 $ $ \Leftrightarrow $ $ a^5+ b^5+ c^5> 0 $
ii) Siano $ a,b,c,d $ numeri reali tali che $ a + b + c + d = 0 $, provare che
$ a^3+b^3+c^3+d^3> 0 $ $ \Leftrightarrow $ $ a^5+b^5+c^5+d^5> 0 $

Trattandosi di numeri reali si ha in generale che per $ p>1 $: $ \displaystyle\sqrt[p]{\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^p} \geq \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i $, ovvero la media di potenza è maggiore o uguale della media aritmetica, inoltre la disuguaglianza è stretta quando i reali $ x_i $ non sono tutti uguali. Detto questo dimostrare la coimplicazione diventa semplice.

per $ p>1 $, $ \displaystyle\sqrt[p]{\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^p} \geq \frac{1}{n} \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i $ non è generalmente vero in questo caso poiché gli $ x_i $ possono essere negativi

Ti sbagli, funziona lo stesso basta che ti fai il caso a mano.