OliForum Matematico

Allora due problemini freschi freschi:
Primo(penso di averlo risolto ma voglio sapere che ne pensate con l'approccio)
Due cercatori d’oro hanno due grandi sacchi di pezzi d’oro. Il primo ha solo
pezzi da 15 grammi, il secondo pezzi da 21 grammi. Puo il primo pagare `
esattamente al secondo un debito di 27 grammi d’oro? Potrebbe invece il
secondo pagare esattamente al primo un debito di 29 grammi d’oro?

a= nx-ky=27

b=ky-nx=29

dove x e y sono le unità dei grammi e n e k sono costanti.

n(15)-k(21)=27 ho calcolato MCD ed è 3 perciò n(15)-k(21) =9 ed ho pensato 21+9 = 30=15*2 perciò i due numeri sono 30*3-21*3 =27 perciò ,si può farlo.

per il secondo ho pensato che dato che l' MCD non si può applicare all'uguaglianza il "9" del 29 può essere dato solo da 19-9 o 14-5 (estremi del numero). poiché i multipli di 15 finiscono solo per 0 e 5.perciò ho provato con diversi numeri:
84,210,294,420

e ho fatto

84-29= 55 no multiplo 15
189-29 =160 no
294-29 =265 no
399-29=360 si!! 24 .

comunque conoscete un'altro metodo più rapido??

2a problema;
Sia n un numero intero e A un numero reale positivo, entrambi fissati. Dimostrare che: “Il prodotto di n numeri positivi aventi somma assegnata nA
e pi ` u grande possibile quando i numeri sono uguali”. in altre parole se $ a_1,a_2,...,a_n $sono numeri positivi tale che :
$ a_1+a_2+...+a_n=nA $

allora si ha $ a_1*a_2*...*a_n \le A^n $
in cui si ha l'uguaglianza solo quando $ a_1=a_2=...=a_n = A $

Riguardo al secondo è banale.
$\displaystyle nA=\sum_1^n a_i$ da cui $\displaystyle A=\frac {\sum_1^n a_i}{n}=AM$ (media aritmetica)
$\displaystyle A^n\ge \prod_1^n a_i$ da cui $\displaystyle A\ge \sqrt[n]{\prod_1^n a_i}=GM$ (media geometrica)
per note proprietà delle medie, $\displaystyle AM=GM$ se e solo se $\displaystyle a_1=a_2=...=a_n $

Al primo la prima parte bene (anche se qualche cosa da rivedere nella forma o almeno da argomentare meglio). La seconda non ho capito bene. Se seguivi come ho fatto io il ragionamento fatto prima viene che $\displaystyle MCD(15,21)\nmid 29$ da cui non vi sono soluzioni...


ps se ti prepari alla normale comunque ti consiglio di vederti più gli ultimi anni che gli antichi. sia per il fatto che i vecchi sono più facili, sia anche per un cambiamento di gusto nella selezione. fatti anche i problemi di cesenatico, quelli magari più tosti visto che chi organizza le olimat in italia sono proprio i normalisti....

A...secondo te da che anno posso partire??

direi dal 1990 o 2000. ma prima del '90 sono sconsigliati (a me l'ha detto uno che alla normale è entrato l'anno scorso)

ok sia matematica che fisica??

petroliopg ha scritto:direi dal 1990 o 2000. ma prima del '90 sono sconsigliati (a me l'ha detto uno che alla normale è entrato l'anno scorso)

Hei petroliopg piacere stefano dato che penso questo mese discuteremo molto(sembriamo molto simili),spero faremo un pò d'amicizia per aiutarci a vicenda e integrare le nostre conoscenze,siamo praticamente sulla stessa barca.

ma tu dove stai studiando matematica e fisica??