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Trovare tutte le soluzioni positive di:
$ 7^x-5^y=z^2 $

Per prima cosa analizzo modulo $4$:

$7^x*5^y \equiv (-1)^x-1 \pmod{4}$ da cui $2\mid x$. Posto $x=2a$ ottengo che $(7^a-z)(7^a+z) = 5^y$. Si ha quindi il sistema:
$7^a-z=5^\mu$
$7^a+z=5^{\zeta}$
dove ovviamente $\mu +\zeta = y$. Sommando le due equazioni ottengo che $2\cdot 7^a = 5^{\mu}(1+5^{\zeta - \mu})$ da cui $\mu =0$. perciò $2\cdot 7^a = 5^{\zeta}+1$ che modulo 6 dà $2\equiv (-1)^{\zeta} +1 \pmod{6}$, da cui si deduce che $2\mid \zeta$. Posto quindi $\zeta = 2k$, si ottiene che il sistema sopra diventa
$7^a+z=5^{2k} \rightarrow z \equiv 5^{2k}\pmod{7}$
$7^{a}-z = 1\rightarrow z \equiv -1 \pmod{7}$
Ma allora si deve avere che $5^{2k}\equiv -1 \pmod{7}$ che non avviene mai poichè $-1$ non è un residuo quadratico modulo $7$.

Si va bene bravo, ma hai fatto un giro enorme
Analizzi modulo 3,5,7 e giungi ad un assurdo.

Sì, lasciamo stare, studiare Fisica mi sa portando alla perdizione D:

scusate cosa sarebbe il termine "mod"?

presi due interi a,b e un intero positivo c, si dice che a è congruo a b modulo c (in simboli $\displaystyle a \equiv b \mod{c}$) se $\displaystyle c \mid (a-b)$
In pratica di un numero qualsiasi $\ a $,il $\mod c $ indica il resto della divisione tra $\ a$ e $\ c$...

petroliopg ha scritto:presi due interi a,b e un intero positivo c, si dice che a è congruo a b modulo c (in simboli $\displaystyle a \equiv b \mod{c}$) se $\displaystyle c \mid (a-b)$
In pratica di un numero qualsiasi $\ a $,il $\mod c $ indica il resto della divisione tra $\ a$ e $\ c$...

Quindi tu dici che esiste un mod c se (a-b) è divisibile per c e quindi da un resto che è mod c?

non si tratta di esistere o meno, il mod indica una relazione tra due numeri interi
3 = 8 (mod 5) vuol dire che 3 e 8 divisi per 5 danno lo stesso resto, o equivalentemente 5 | 8-3
in generale, se a e b danno lo stesso resto quando divisi per c (oppure c | (a-b) , sono condizioni equivalenti prova a dimostrarlo), si dice che sono congrui modulo c e si scrive a=b (mod c)

sembra logico che se a è divisibile per c e b è divisibile per c anche la loro differenza lo è... sbaglio??
mi correggo...ad esempio se a divide n e da resto mod n,e b divide n e da resto mod b allora a e b avranno lo stesso resto .
Indichiamo con r il resto:
$ n\mid a-r $
e
$ n\mid b-r $
allora :

$ n\mid b-r-a+r $

cioè:
$ n\mid b-a $

comunque tutte le operazioni lineari sono applicabili.

In realta' $a$ da' resto $r$ se diviso per $n$... Non puoi dire "da' resto r mod n", perche' il mod non e' un'operazione
E poi hai sbagliato a scrivere: sarebbe $n\mid a-r$

Comunque si', hai ragione... Non e' nulla di difficile

si è da poco che scrivevo i resti e la divisibilità e ho messo tutto al contrario..

Complimenti mist!!! Tutto con i residui quadratici...ma dimmi non ho capito come hai trovato l'equazione $ 7^x *5^y \equiv etc $ facendo modulo 4,cioè hai trovato proprio un'altra equazione differente da quella data.

LeZ ha scritto:Trovare tutte le soluzioni positive di:
$ 7^x-5^y=z^2 $

In $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ abbiamo $2\mid \text{gcd}(x,y)$ da cui $\displaystyle \left(\frac{7^{\frac{x}{2}}-5^{\frac{y}{2}}}{2}\right)\left(\frac{7^{\frac{x}{2}}+5^{\frac{y}{2}}}{2}\right)$ è un quadrato,ma i due fattori sono coprimi, e la somma dei due ($7^{\frac{x}{2}}$) e' somma di due quadrati coprimi, che e' impossibile dal momento che $\left(\frac{-1}{7}\right)=-1$..