OliForum Matematico

Sia $ F(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $ un polinomio di terzo grado con
coefficienti interi ,come posso aprirlo??? non penso con ruffini!! sapete se esiste una qualche metodo?? perché poi mi chiede.
. Si dimostri che:
Se p/q, con p, q, interi primi tra loro e q diverso da 0, è una radice del polinomio, `
per ogni intero m il numero F(m) e divisibile per ` p-mq;
per impostare la divisibilità ...devo prima aprire il polinomio giusto?

Perché da qualche pare avevo visto un certo $ F(x)= (x-a)(x-b)(x-c)(h(x)) $ per un polinomio di terzo grado....potrebbe aiutare nella soluzione??
Perché svolgendolo mi verrebbe: $ F(m)=(m-( \frac{p}{q} ) (m-b)(m-c) \mid p-mq $
perciò diventerebbe:
$ F(m)=-( \frac{-mq+p}{q} ) (m-b)(m-c) \mid p-mq $

proseguendo...
$ F(m)=-( \frac{(p-mq)(m-b)(m-c)}{q} )\mid p-mq $ e verrebbe divisibile...
è il secondo che non riesco a fare.

Come fai ad "aprire" (ammesso che voglia significare "scomporre") un polinomio di cui non conosci nulla? Semplice! Non puoi!
Ma appena inizi ad avere alcune informazioni, come il fatto che $\frac{p}{q}$ è una radice puoi iniziare a scomporre.

Ruffini:
$F(x)=(x-\frac{p}{q})G(x)$ con $G(x)$ un altro polinomio di cui non so niente
$F(m)=(m-\frac{p}{q})G(m)=(\frac{mq-p}{q})G(m)=-(\frac{-mq+p}{q})G(m)=(p-mq)(\frac{-1}{q})G(m)$ che è ovviamente divisibile per $p-mq$

EDIT: non avevo visto che avevi già scritto la soluzione

si..tranquillo non era per fare il sapientone anzi qui in mezzo mi sento l'ultimo..pensa ancora non so cosa sia il mod 1,2 ,3..ed alcune cose mi sembrano ancora non fattibili..però ci vuole pazienza ecco.Grazie per la conferma..ora bisogna affrontare la seconda parte del problema!

qual è il secondo punto?

frod93 ha scritto:qual è il secondo punto?

se esistono due interi $ x_1 ,x_2 $tali che $ F(x_1)=1 F(x_2)=-1 $ e che il modulo di $ x_2-x_1 $ è maggiore di 2,allora F(x) non ha radici razionali.

Supponi per assurdo che esista $\displaystyle \alpha=\frac {p}{q} \in \mathbb{Q} | F(\alpha)=0$ $\displaystyle p,q \in \mathbb{Z}, MCD(p,q)=1$
per il punto precedentemente verificato $\displaystyle (p-mq) \mid F(m)$
dunque in particolare $\displaystyle (p-x_1q) \mid F(x_1)=1$
$\displaystyle (p-x_2q) \mid F(x_2)=-1$
Quindi $\displaystyle p-x_1q= \pm 1$
$\displaystyle p-x_2q= \pm 1$
$\displaystyle q \ne 0 , x_1 \ne x_2$ (altrimenti contraddizione)
Dunque metti a sistema:
$\displaystyle \begin{cases} p-x_2q= 1 \\
p-x_1q= -1
\end{cases}$
e
$\displaystyle \begin{cases} p-x_1q= 1 \\
p-x_2q= -1
\end{cases}$
Sottrai membro a membro e viene $\displaystyle (x_2-x_1)q= \pm 2$
quindi $\displaystyle |x_2-x_1|= \frac {2}{q} \le 2$ che è contro l'ipotesi iniziale.

Petroliopg!! quanto tempo!!! si hai ragione praticamente hai fatto un passo indietro da F(x) fino ad x e con due sistemini hai dimostrato il contrario della tesi..ricordo che ti piace molto lavorare con l'MCD.
io avevo provato tramite le radici e considerando le soluzioni del polinomio tutte uguali..
$ F(x_1)= (x_1-a)(x_1-b)(x_1-c) $
stesso per F(x2)
e perciò
$ F(x_1)-F(x_2)= (x_1-x_2)*(a+b+c) $
però..non mi tornava e non mi convinceva.

anche se assumendo a+b+c =q
$ x_1-x_2=\left( \frac{2}{q} \right) $
che smentisce il maggiore.

io avevo provato tramite le radici e considerando le soluzioni del polinomio tutte uguali..
$ F(x_1)= (x_1-a)(x_1-b)(x_1-c) $
stesso per F(x2)

addio generalità

e perciò
$ F(x_1)-F(x_2)= (x_1-x_2)*(a+b+c) $

bella scomposizione

però..non mi tornava e non mi convinceva.

davvero?

anche se assumendo a+b+c =q
$ x_1-x_2=\left( \frac{2}{q} \right) $
che smentisce il maggiore.

tanto ormai la generalità se n'è andata da un pezzo.

in sostanza, non aggiungere ipotesi a caso solo per far tornare il problema, dato che ne risolveresti solo una parte, un caso particolare. l'analisi dei casi particolari è utile se vuoi capire come funziona il problema, ma poi devi tornare alla generalità

si lo so..pensavo di aver scritto una boiata..ma so che voi non giudicate.e la generalità se n'era andata da un pezzo dato che avevo buttato tutte le disuguaglianza dalle radici del polinomio etc..ma..dato che verrebbe comunque in caso come posso generalizzare da quel pezzo finale??Sempre se si può fare altrimenti butto proprio via il metodo dei casi particolari..e lo riprovo però con la coscienza della generalizzazione.