OliForum Matematico

domanda alternativa...:
<BR>qualcuno sa qualcosa sul teorema di goedel?
<BR>essenzialmente so cosa dice,
<BR>volevo avere un\'idea delle tecniche usate nella dimostrazione
<BR>grazie

La dimostrazione è costruttiva, Godel enuncia davvero una proposizione vera ma che non può essere dimostrata all\'interno di un certo sistmea assiomatico. Denotiamo tale proposizione con G, allora G dice,
<BR>G: G non è dimostrabile all\'interno del sistema assiomatico A.
<BR>Ora noi assumiamo che A sia coerente, cioè che tutti i suoi teoremi siano veri, altrimenti non sarebbe un sistema assiomatico di grande importanza (per la dimostrazione rigorosa bisogna suppore che A contenga almeno gli assiomi dell\'aritmetica). Si vede subito che G non può essere un teorema, e quindi non può essere falsa, poiché se lo fosse sarebbe vera e quindi... non sarebbe un teorema! Ma ttenzione: non siamo nel caso del paradosso del mentitore dove è falsa dove si ha un assurdo, qui G può benissimo essere vera, e quindi non dimostrabile all\'interno di A, noi ci accorgiamo del sua essere vera perché guardiamo il sistema dall\'\"esterno\", G è dimostrabile in un sistema assiomatico più ampio di A (che cmq conterrà la sua preposizione di Godel). Ora la cosa potrebbe non essere molto interessante perché anche la proposizione \"L\'Everest è il monte più alto della terra è vera ma non dimostrabile dagli assiomi della matematica\", la differenza fondamentale è questa seconda proposizione non è nemmeno scrivibile usando la sombologia matematica, per questo l\'impossibilità della sua dimostrazione non è interessante. La maggior parte della dimostrazione del teorema di Godel sta proprio nello scirvere G esclusivamente usando la simbologia matematica, per farlo usa una tecnica davvero geniale, associando a ogni connettivo e all\'\"=\" un numero intero, di modo che le proposizioni diventino a loro volta dei numeri, detti numeri di godel, e creando delle funzioni che agiscono su tali numeri, in modi piuttosto complicati, fino ad arrivare alla formulazione completa di G.
<BR>Il secondo teorema di Godel, cioè che non si può dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico \"dal suo interno\" fondalmentalmente viene dimostrato facendo vedere che una proposizione in particolare (non mi ricordo quale) che è un assioma non può essere dimostrata dall\'interno, dimostrando che un suo caso particolare, forse 0=/=1, è indimostrabile.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 02-10-2003 18:13 ]

grazie 1000! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Se ti va, ti interessa, ne hai voglia e capisci l\'inglese, da qualche parte ho la dimo di Goedel (in inglese appunto) ma è un file .doc...quindi se vuoi, dimmi la mail e te la mando (magari mandami un msg privato se non ti va di scrivere qui l\'indirizzo).
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

Mandala anche a me, <a href="mailto:publiosulpicio@hotmail.com" target="_new">publiosulpicio@hotmail.com</a>

talpuz@libero.it
<BR>thanx!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

a tal proposito ti seganlo 2 libri:
<BR>
<BR>- la prova di godel di Nagel e Newmann
<BR>- Bach Escher Godel, eterna ghirlanda brillante (nn ricordo l\'autore)
<BR>
<BR>il primo e\' ben fatto ed entra abbastanza nei dettagli, il secondo.... e\' la bibbia!
<BR>
<BR>
<BR>byez
<BR>[addsig]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-10-04 14:55, darko wrote:
<BR>- Bach Escher Godel, eterna ghirlanda brillante (nn ricordo l\'autore) *
<BR>
<BR>il primo e\' ben fatto ed entra abbastanza nei dettagli, il secondo.... e\' la bibbia!
<BR>
<BR>
<BR>byez
<BR>[addsig]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>* Douglas Hofstadter
<BR>Sarà la bibbia, ma è meglio leggerlo con molto spirito critico...altrimenti convince con eccessiva facilità dell\'onniscienza dell\'autore!!

- Il secondo teorema di Goedel dice che la coerenza di un sistema non è dimostrabile dal suo interno, ovvero che lo è se e solo se il sistema non è corente. Questo perché la proposizione \"il sistema è coerente\" implica G. Infatti se G fosse falsa (e noi lo potessimo dimostrare) allora G sarebbe dimostrabile e il sistema proverebbe una falsità - ergo non sarebbe coerente. In realtà G è equivalente alla coerenza del sistema. Infatti se G fosse vera (e noi lo potessimo dimostrare) avremmo dimostrato contemporaneamente che G è dimostrabile (esibendo una sua dimostrazione) e che G non lo è (questo dice G). Ma allora avremmo dimostrato una contreddizione e da essa potremmo dimostrare qualunque proposizione (a falso quolibet), in particolare la coerenza del sistema. Domanda: ma la coerenza è esprimibile all\'interno del sistema? Risposta: sì, essa equivale all\'affermazione che una certa proposizione falsa (per esempio 0=1) non è dimostrabile, perché se il sistema non fosse coerente (provasse cioè una contraddizione) proverebbe qualunque cosa (per esempio anche 0=1 - a falso quolibet), mentre se provasse 0=1 proverebbe una contraddizione e non sarebbe coerente.
<BR>
<BR>- Lascia perdere la dimostrazione originale di Goedel, è lunga, difficile e molto tecnica (puoi leggere la sua introduzione, tutt\'al più). Negli ultimi 70 anni il teroema è stato più volte generalizzato e la dimostrazione è stata più volte semplificata.

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-10-05 13:58, DD wrote:
<BR> Infatti se G fosse falsa (e noi lo potessimo dimostrare) allora G sarebbe dimostrabile e il sistema proverebbe una falsità
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>no no, aspetta le cose non stanno affatto cosi! altrimenti questo sarebbe stato uno dei teoremi -chesso\'- di Pitagora, per quanto evidente.
<BR>
<BR>Infatti, per come la metti tu, se io dimostro che G := 1+1=3 e\' falsa allora dimostro che G e\' dimostrabile (cioe\' dimostri che G e\' vera).
<BR>
<BR>E quando mai una simile cosa ??
<BR>
<BR>Cio\' che Godel dimostro\' e\' che un sistema, se e\' coerente, ammette dei paradossi, ovvero, all\'interno di quel sistema e\' possibile costruire proposizioni assurde e contraddittorie, partendo proprio dagli assiomi del sistema.
<BR>
<BR>Cioe\' se gli assiomi non sono contraddittori allora e\' possibile costruire proposizioni che contraddicono il sistema. In pratica e\' possibile contraddire il sistema solo se il sistema non e\' contraddittorio.