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Sì, è un imperativo. Lo faccio
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<BR>1) ALGEBRA Find all real polynomials p(x, y) such that p(x, y) p(u, v) = p(xu + yv, xv + yu) for all x, y, u, v.
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<BR>2) GEOMETRIA A regular hexagon area H has its vertices on the perimeter of a convex polygon of area A. Prove that 2A <= 3H. When do we have equality?
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<BR>3) NUMERI Find an infinite set of incongruent triangles each of which has integral area and sides which are relatively prime integers, but none of whose altitudes are integral.
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<BR>Ok, ora c\'è vario materiale su cui discutere.

Uff, il primo e\' qualcosa di disumano! Sara\' che non sono abituato all\'algebra, ma se e\' cosi\' non voglio abituarmici...
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<BR>1) ALGEBRA Find all real polynomials p(x, y) such that p(x, y) p(u, v) = p(xu + yv, xv + yu) for all x, y, u, v.
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<BR>Orbene, proviamo come di consueto u=v=0, e troviamo p(x,y)p(0,0)=p(0,0), da cui si evince che p(x,y)=1 per ogni x e y (che verifica le ipotesi, e quindi e\' una soluzione accettabile), oppure p(0,0)=0.
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<BR>Poniamoci dunque in quest\'ultimo caso, e proviamo con y=v=0, da cui p(x,0)p(u,0)=p(xu,0). Ora, posto q(x)=p(x,0), passiamo allo studio del polinomio q(x). Da quanto detto prima, sappiamo che q(0)=0, e che q(x)q(y)=q(xy). Ma allora, posto y=1, si ha q(x)q(1)=q(x), da cui q(x)=0 per ogni x, oppure q(1)=1. In questo caso, sia q(2)=w. Per induzione q(2^m)=w^m, infatti q(2^m)=q(2)q(2^m-1). Poiche\' q non e\' identicamente nullo, non puo\' annullarsi infinite volte; ora, se fosse w=0, q(x) sarebbe nullo per x=2^m; mentre se w<0, q(x) cambierebbe segno infinite volte, e si annullerebbe pertanto infinite volte. Allora w e\' positivo, e quindi esiste un n reale tale che w=2ⁿ, da cui q(2^m)=2^mn. Siccome q e\' un polinomio, e siccome e\' uguale a xⁿ per infiniti x, allora vale senz\'altro q(x)=xⁿ per ogni x, ed n e\' quindi intero positivo.
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<BR>Tornando al problema principale, poniamo v=0 e vediamo che p(x,y)q(u)=p(ux,uy). Se q e\' identicamente nullo, allora lo e\' anche p (altra soluzione accettabile); altrimenti, per quanto detto prima, q(u)=uⁿ, da cui p(ux,uy)=uⁿp(x,y). Consideriamo ora un monomio di p(x,y): kxⁱy^j, e vediamo che k(ux)ⁱ(uy)^j=ku^i+jxⁱy^j. Ma, per l\'uguaglianza precedente e per il principio d\'identita\' dei polinomi, deve necessariamente valere ku^i+j=kuⁿ, da cui i+j=n. In sostanza, significa che p(x,y) e\' omogeneo rispetto a x e y.
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<BR>Ora, notiamo che p(x+y,x-y)p(u+v,u-v)=p(2xu+2yv,2xu-2yv), e guarda caso tutti e 3 i termini sono della forma p(a+b,a-b). Notiamo anche che, siccome p(a,b) e\' omogeneo, anche p(a+b,a-b) lo e\', infatti il monomio generico di p diventa k(a+b)ⁱ(a-b)^n-i, e poiche\' lo sviluppo del binomio di Newton ci dice che tutti i monomi di (a+b)^j hanno grado j, tutti i monomietti che satano fuori hanno proprio grado (i)+(n-i)=n.
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<BR>Da quanto detto, possiamo scrivere Sum[i,j=0..n](k_ik_jxⁱu^jy^n-iv^n-i)=Sum(k_i(2xu)ⁱ(2yv)^n-i). Se osserviamo i coefficienti di xⁱu^j (con i!=j) nel membro di destra, vediamo che sono sempre 0. Affinche\' siano 0 anche nel membro di sinistra, occorre che al piu\' un k_i sia non nullo: infatti, se supponiamo che 0!=k_i!=k_j!=0, vediamo che nel membro a sinistra esiste un termine in xⁱu^j con coefficiente k_ik_j!=0. Allora, se tutti i k_i sono nulli, p(x+y,x-y)=0, da cui p(x,y)=0, caso gia\' considerato. Altrimenti, se k_i e\' l\'unico coefficiente non nullo, allora deve valere k_i²=2ⁿk_i, da cui k_i=2ⁿ. Percio\', ponendo a=(x+y)/2 e b=(x-y)/2, si ricava finalmente p(x,y)=p(a+b,a-b)=2ⁿaⁱb^n-i=(2a)ⁱ(2b)^n-i=(x+y)ⁱ(x-y)^n-i.
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<BR>Insomma, le soluzioni possibili sono queste: p(x,y)=0, oppure p(x,y)=(x+y)ⁱ(x-y)^j (che comprende anche p(x,y)=1, trovato all\'inizio). Resta da verificare quali i, j soddisfano l\'equazione, ed un breve conticino ci toglie anche gli ultimi dubbi: tutti gli i, j interi vanno bene, e noi siamo cosi\' soddisfatti che crolliamo a terra esausti.[addsig]

Piu\' facile, il secondo. Soprattutto, facile convincersi che e\' vero.
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<BR>2) GEOMETRIA A regular hexagon area H has its vertices on the perimeter of a convex polygon of area A. Prove that 2A <= 3H. When do we have equality?
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<BR>Vale a dire A<=(3/2)H. Consideriamo la stella a 6 punte ottenuta prolungando i lati dell\'esagono. Per la convessita\', il poligono e\' interamente contenuto nella stella. Tra i 6 triangolini esterni della stella, consideriamone 2 adiacenti (p e q), il cui vertice comune sia A. Chiamiamo inoltre a e b le 2 parti di poligono che sono contenute rispettivamente in p e in q. Con semplici argomentazioni sulla convessita\' del poligono, si deduce che ruotando b di 120º attorno ad A, si riesce ad incastrare a e b in p, senza che si intersechino tra loro. Da cio\' segue direttamente la tesi.
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<BR>Infine, affinche\' valga l\'uguaglianza, occorre che per ogni scelta di p e q adiacenti, la somma delle aree di a e b sia pari all\'area di p. In altri termini, i vertici del lato del poligono che passa per A, devono necessariamente trovarsi sui lati \"opposti\" di p e q. Se i vertici del poligono non cadono sui vertici della stella, il giochetto di formare un triangolo della stella con 2 triangolini del poligono riesce solo 2 volte. Altrimenti, nel caso in cui il poligono e\' un triangolo equilatero, il giochetto riesce 3 volte, e la sua area e\' difatti (3/2)H.[addsig]

uhm.. anti canna il post e spera anche che la cosa passi inosservata...

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-10-07 18:08, ma_go wrote:
<BR>uhm.. anti canna il post e spera anche che la cosa passi inosservata...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Cosi\' almeno e\' piu\' elegante... anche se la piccola differenza di orari dei 2 post che c\'era prima faceva piu\' figo...

non potevi semplicemente ripostare anche il primo?