OliForum Matematico

Dati tre numeri interi p > 2, q > 2, r > 2 si consideri un parallelepipedo di legno tale che i tre spigoli uscenti da un vertice abbiano lunghezza p, q, r. Dopo aver dipinto la superficie esterna del parallelepipedo, questo viene tagliato, mediante sezioni parallele alle facce, in cubetti aventi spigoli di lunghezza 1. Ovviamente alcuni dei cubetti sono parzialmente colorati, mentre altri non sono colorati affatto. Si dimostri che esiste solo un numero finito di terne (p;q;r) per ciascuna delle quali il numero dei cubetti parzialmente colorati e uguale al numero di quelli che non sono colorati affatto.
So che vi sto tempestano ma mi manca sempre quell'ultimo pizzico di generalizzazione e sono sicuro che qualcuno potrebbe aiutarmi in questo.
$ S_p= 2(pr)+2(pq)+2(qr) $

$ V_p=pqr $

Per determinare uguali i cubetti
$ S_p-(V-S_p)=0 $(spero sia giusta :S)

perciò : $ 4(pq+pr+qr)-pqr=0 $

ho iniziato con i casi speciali e non con il generale.

Se $ p=q=r=x $

$ 4(3x^2)-x^3=0 $
$ x=12 $

se due dei tre interi sono uguali ,cioè$ p=q=x ,q=r=x,p=r=x $

$ 4(x^2+2xr)-x^2r $

$ x=\frac{2r}{3} $ e cioè che $ r>2,r\mid 3 $

Non riesco a trovare la generale!!! cioè per $ p \ne\ q \ne\ r $

Mi sembra che contando le superfici alcuni cubi si ripetano..
io ho fatto così.
$\displaystyle V_t=pqr$ il volume totale. Il volume del parallelepipedo interno è $\displaystyle V_p=(p-2)(q-2)(r-2)$ ricordando che $\displaystyle p,q,r>2$ Si tolgono due perché sono uno per parte.
Allora i cubi della superficie sono $\displaystyle V_t-V_p$
Allora ho
$\displaystyle V_t-V_p=V_p$ cioè $\displaystyle pqr=2(p-2)(q-2)(r-2)$
Ora io direi di scrivere in questo modo: $\displaystyle \frac {1}{2}= \frac {p-2}{p} \frac {q-2}{q} \frac {r-2}{r}$
WLOG $\displaystyle r \ge q \ge p$ allora
$\displaystyle \left( \frac {p-2}{p} \right)^3 \le \frac {1}{2} < \frac {p-2}{p}$ da cui segue che $\displaystyle \frac {1}{2} < \frac {p-2}{p} \le \sqrt[3]{\frac {1}{2}}$
quindi i valori di p sono fissati.
Dunque consideriamo fissato p: allora $\displaystyle \frac {p}{2(p-2)}= \frac {q-2}{q} \frac {r-2}{r}$
Dunque visto che p è fissato lo trattiamo come una costante. Allora ricordando $\displaystyle r \ge q \ge p$, $\displaystyle \frac {p}{2(p-2)} < \frac {q-2}{q} \le \sqrt{ \frac {p}{2(p-2)}} <1$
Quindi se la scelta di p è limitata anche la scelta di q è limitata. Fissati p e q al massimo c'è un valore di r che si può scegliere.
$\displaystyle QED$

Si capito quasi tutto..l'unica cosa è il Wlog che non capisco è un'ipotesi che hai messo tu?
Inoltre non capisco come hai determinato la disequazione successiva,cioè se p=q=r perché poi p-2 elevato alla terza etc dev'essere minore di 1/2? ed 1/2 è a sua volta minore di p-2/p??Da cosa lo deduci?

Si comunque con il mio metodo è come se usassi due grandezze con unità di misura differenti èpoiché la superficie è in $ m^2 $ mentre il volume in $ m^3 $

Robertopphneimer ha scritto:Si capito quasi tutto..l'unica cosa è il Wlog che non capisco è un'ipotesi che hai messo tu?

WLOG = "without loss of generality" = senza perdita di generalità = un'ipotesi che aggiungi per semplificarti la vita che non cambia la generalità del problema. in quel caso è ordinare le variabili dicendo qual è la più grande e quale la più piccola: non cambia la generalità in quanto puoi scambiare le variabili tra loro mantenendo inalterata l'equazione.

mmmh..!!! capito!!bè si permette di semplificarti la vita

petroliopg ha scritto:Mi sembra che contando le superfici alcuni cubi si ripetano..
io ho fatto così.
$\displaystyle V_t=pqr$ il volume totale. Il volume del parallelepipedo interno è $\displaystyle V_p=(p-2)(q-2)(r-2)$ ricordando che $\displaystyle p,q,r>2$ Si tolgono due perché sono uno per parte.
Allora i cubi della superficie sono $\displaystyle V_t-V_p$
Allora ho
$\displaystyle V_t-V_p=V_p$ cioè $\displaystyle pqr=2(p-2)(q-2)(r-2)$
Ora io direi di scrivere in questo modo: $\displaystyle \frac {1}{2}= \frac {p-2}{p} \frac {q-2}{q} \frac {r-2}{r}$
WLOG $\displaystyle r \ge q \ge p$ allora
$\displaystyle \left( \frac {p-2}{p} \right)^3 \le \frac {1}{2} < \frac {p-2}{p}$ da cui segue che $\displaystyle \frac {1}{2} < \frac {p-2}{p} \le \sqrt[3]{\frac {1}{2}}$
quindi i valori di p sono fissati.
Dunque consideriamo fissato p: allora $\displaystyle \frac {p}{2(p-2)}= \frac {q-2}{q} \frac {r-2}{r}$
Dunque visto che p è fissato lo trattiamo come una costante. Allora ricordando $\displaystyle r \ge q \ge p$, $\displaystyle \frac {p}{2(p-2)} < \frac {q-2}{q} \le \sqrt{ \frac {p}{2(p-2)}} <1$
Quindi se la scelta di p è limitata anche la scelta di q è limitata. Fissati p e q al massimo c'è un valore di r che si può scegliere.
$\displaystyle QED$

Riguardandol non capisco perché Vt-Vp= Vp..all'aumentare di Vp questa non potrebbe essere vera!Cioè non capisco geometricamente come hai fatto).

Non capisco cosa non capisci.
$\ V_t-V_p=V_s$ dove $\ V_s$ è il volume superficiale, ossia i cubi sulla superficie. Non ho scritto $\ V_s$ con questo simbolo, ma a parole

Allora i cubi della superficie sono

$\ V_s=V_p$ è l'uguaglianza che devi dimostrare... è ciò che ti chiede il problema...

si scusami..pensavo che era una cosa che avevi dedotto invece è un'ipotesi per la tua dimostrazione..
comunque misà che hai ragione sulla superficie superficiale in quanto svolgendo i calcoli e ponendo $ Vt-Vp= Vs= S = 2pr+2pq+2rq $ mi viene $ p+q+r=2 $(impossibile)