OliForum Matematico

consideriamo il polinomio
<BR>p(x)=x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
<BR>determinare quale resto si ottiene dividendo p(x^7) per p(x)

p(x^7) è il valore che assume il polinomio p(x) se sostituisco x^7 a x vero?

gia

MESSAGGIO SERIO PROMESSO OGNI X OGNI MESE
<BR>
<BR>(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)(x^1)+<!-- BBCode Start --><B>0</B><!-- BBCode End -->=x^7[addsig]

??

probabilmente sto dicendo una bischerata, ma ci provo lo stesso.
<BR>p(x)=(x^4+1)(x^2+x+1)
<BR>p(x^7)=x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7-x^7+1.
<BR>chiamo y il \"pezzo\" fino a x^7 e z 1-x^7.
<BR>y=x^7(x^4+1)(x^2+x+1), quindi y divide p(x).
<BR>z=(1-x)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=(1-x)p(x), quindi anche z
<BR>divide p(x), e allora il resto è 0.

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>p(x)=(x^4+1)(x^2+x+1)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>...e x^3??

me lo sono dimenticato.

p(x) = (x^7-1)/(x-1).
<BR>tutte le radici di p(x) sono le radici settime di uno, 1 escluso...
<BR>se si conoscono tutti i resti di p(x^7) quando diviso per le radici di p(x), si può sapere anche il resto della divisione per p(x).
<BR>ora, dette a_i le sei radici di p(x), (a_i)^7 = 1 per ogni i.
<BR>per cui p((a_i^7)) = p(1) = 7, cioè (per il teorema di ruffini), il resto è 7.
<BR>con un paio di conticini pallosetti (ma neppure troppo) si ricava che il resto di tale cosa è 7.
<BR>ho detto troppe cazzate o ne ho solo fatte nei conti??

io ho trovato una sol. molto discutibile da cui ottengo però resto 9 per x =/= +-1 e x =/= 0.
<BR>ps:la tua per x=0 non funziona...

com\'è che io e derive abbiamo fatto lo stesso errore?

Ciao biagio!
<BR>Quello che dice marco funziona anche per 0: se scrivi p(x^7) = p(x)q(x) + r(x), hai che p(0) = p(0)q(0) + 7, ovvero q(0) = -6: non c\'è contraddizione.

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-10-07 16:21, ma_go wrote:
<BR>
<BR>con un paio di conticini pallosetti (ma neppure troppo) si ricava che il resto di tale cosa è 7.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Per chiarirmi la situazione. Tu sai che p(x^7)=7 (mod a_i) con a_i la generica radice di p(x) o meglio la generica radice settima di 1. Da qua deduci immediatamente che p(x^7)=7 mod (a_1*a_2...*a_6) oppure cosa si nasconde dietro quei conticini????
<BR>ciao
<BR>p.s.: la domanda MAGARI vi sembrerà banale ma se nn si chiede nn si impara (il pubblico ludibrio vale un aumento delle proprie abilità....mah?!)

p(x) = (x-a_i)q(x)+7
<BR>p(x) = (x-a_j)q\'(x)+7
<BR>(x-a_i)q(x)+7 = (x-a_j)q\'(x)+7 => (x-a_i)|q\'(x)...
<BR>applichi altre 4-5 volte la stessa cosa e ottieni quanto desiderato...
<BR>

Grazie ma_go...tutto chiaro... In effetti potrei pensare un pò di + prima di chiedere [la mia solita pigrizia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> ]
<BR> Ciao