Nonostante il testo poco accattivante, ci provo
Lemma degli Scout: se $a \mid b$ allora $\varphi(a) \mid \varphi(b)$.
Dim.: deve valere $\displaystyle a= \displaystyle \prod_{i=1}^{k} q_i^{\alpha_{i}}$ e $\displaystyle b= \displaystyle \prod_{i=1}^{k} q_i^{\beta_{i}} \cdot B$, con $B \in \mathbb {N}, \gcd(B, q_i) = 1$ e $\alpha_i \leq \beta_i$, $\forall i$.
Ora $\displaystyle \varphi(q_i^{\alpha_{i}}) = q_i^{\alpha_{i}} -q_i^{\alpha_{i} -1} \mid q_i^{\beta_{i}} -q_i^{\beta_{i} -1} = \varphi(q_i^{\beta_{i}})$; per la moltiplicatività della funzione $\varphi$, vale $\varphi(a) = \displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi(q_i^{\alpha{i}}) \mid \displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi(q_i^{\beta{i}}) \mid \varphi(b)$
Claim: voglio dimostrare che $\displaystyle \frac{\gcd (\varphi(2^m +1), \varphi(2^n +1))}{\varphi(\gcd (2^m +1, 2^n +1))} \geq 1$.
Sia $\displaystyle 2^m +1 = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_{i}}$ e sia $\gcd(2^m +1, 2^n +1) = \displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\beta_{i}}$, con $0 \leq \beta_i \leq \alpha_i$. Il claim diventa
$\displaystyle \frac{\gcd (\varphi(2^m +1), \varphi(2^n +1))}{\varphi \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\beta_{i}}\right)} \geq 1 \longrightarrow
\displaystyle \frac{\gcd \left(\varphi \left( \displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_{i}}\right), \varphi\left(\displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\beta_{i}} \cdot N\right)\right)}{\varphi \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\beta_{i}}\right)} \geq 1$.
Sfruttando il Lemma degli Scout, l'ultima disuguaglianza diventa: $\displaystyle \frac{\gcd \left(\varphi \left( \displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_{i}}\right), \varphi\left(\displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\beta_{i}} \right) \cdot (...) \right)}{\varphi \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{k} p_i^{\beta_{i}}\right)} \geq 1$
Applicando ancora la moltiplicatività: $\displaystyle \frac{\gcd \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi (p_i^{\alpha_{i}}), \displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi (p_i^{\beta_{i}}) \cdot (...) \right)}{\displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi (p_i^{\beta_{i}})} \geq 1$
Ma per il Lemma degli Scout, $\varphi (p_i^{\beta_{i}}) \mid \varphi(p_i^{\alpha_{i}})$, quindi $\displaystyle \frac{\gcd \left(\displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi (p_i^{\alpha_{i}}), \displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi (p_i^{\beta_{i}}) \cdot (...) \right)}{\displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi (p_i^{\beta_{i}})} \geq \displaystyle \frac{\displaystyle \prod_{i=1}^{k} \displaystyle \varphi (p_i^{\beta_{i}})}{\displaystyle \prod_{i=1}^{k} \varphi (p_i^{\beta_{i}})} = 1$
Il Claim è dimostrato. Pertanto: $(2^{\displaystyle \gcd(m,n) -1}) \cdot \displaystyle \frac{\gcd (\varphi(2^m +1), \varphi(2^n +1))}{\varphi(\gcd (2^m +1, 2^n +1))} \geq 2^{\displaystyle \gcd(m,n) -1} \geq \gcd(m,n)$
e l'ultima disuguaglianza è vera $\forall x \in \mathbb {Z}^+ $ al posto di $\gcd(m,n)$ (banale induzione).
Dividendo l'ultima disuguaglianza per $\displaystyle 2^{\displaystyle \gcd(m,n) -1}$, si ha la tesi.